(⋆) Pour a ∈ ℝ, soit …. Déterminer le spectre de A(a), puis les…

Endomorphismes des Espaces Euclidiens et Isométries · E. Matrices symétriques positives et définies positives · niveau 1 (application)

Énoncé

( $⋆$ ) Pour $a \in R$ , soit $A (a) = (1 a 0 a 1 a 0 a 1)$ . Déterminer le spectre de $A (a)$ , puis les valeurs de $a$ pour lesquelles $A (a)$ est positive, et celles pour lesquelles elle est définie positive (valeurs propres $1$ et $1 \pm a 2$ ; positive si et seulement si $∣ a ∣ \leq \frac{1}{2}$ , définie positive si et seulement si $∣ a ∣ < \frac{1}{2}$ ; contrôle : $det A (a) = 1 - 2 a^{2}$ , qui s'annule précisément en $a = \pm \frac{1}{2}$ ).

Corrigé

Spectre. $A (a)$ est symétrique réelle, donc diagonalisable en base orthonormée. On vérifie directement : $A (a) 10 - 1 = 10 - 1, A (a) 1 \pm 2 1 = 1 \pm a 2 2 a \pm 2 1 \pm a 2 = (1 \pm a 2) 1 \pm 2 1 .$ Donc $Sp (A (a)) = {1, 1 + a 2, 1 - a 2}$ : les trois vecteurs propres sont orthogonaux deux à deux, donc forment une base (pour $a = 0$ , $A (0) = I_{3}$ ).

Positivité. Une matrice symétrique réelle est positive si et seulement si ses valeurs propres sont $\geq 0$ , définie positive si et seulement si elles sont $> 0$ . Les deux valeurs propres $1 \pm a 2$ ont pour minimum $1 - ∣ a ∣ 2$ . Ainsi :

$A (a)$ est positive si et seulement si $∣ a ∣ \leq \frac{1}{2}$ ;
$A (a)$ est définie positive si et seulement si $∣ a ∣ < \frac{1}{2}$ .

Contrôle. $det A (a) = 1 \cdot (1 + a 2) (1 - a 2) = 1 - 2 a^{2}$ , qui s'annule exactement en $a = \pm \frac{1}{2}$ , là où la plus petite valeur propre passe par $0$ .

(⋆) Pour a ∈ ℝ, soit …. Déterminer le spectre de A(a), puis les…

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