Croissance en racine de la suite u_n+1 = u_n + 1/u_n

Stratégie. La suite est explicitement inaccessible : aucune formule close ne la donne. On change donc d'inconnue. Le passage aux carrés transforme la récurrence en une relation dont l'accroissement a une limite finie — et Cesàro convertit alors une information sur les accroissements en une information sur la croissance. C'est le mécanisme central du chapitre.

Étape 1 — la suite est bien définie et strictement positive. $u_0>0$ ; et si $u_n>0$, alors $\frac{1}{u_n}$ a un sens et $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}>0$. Par récurrence, $u_n>0$ pour tout $n$.

Étape 2 — elle est strictement croissante. $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{u_n}>0$.

Étape 3 — elle tend vers $+\infty$. Raisonnons par l'absurde en supposant $(u_n)$ majorée. Croissante et majorée, elle convergerait vers un réel $\ell$, avec $\ell \ge u_0>0$. La fonction $t\mapsto t+\frac{1}{t}$ est continue en $\ell$ (car $\ell \ne 0$), donc le passage à la limite dans $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}$ donne $$\ell =\ell +\frac{1}{\ell },\text{soit}\frac{1}{\ell }=0,$$ ce qui est absurde. Donc $(u_n)$ n'est pas majorée ; croissante et non majorée, elle diverge vers $+\infty$.

Étape 4 — le changement d'inconnue. Posons $v_n=u_n^2$. Alors $$v_{n+1}-v_n={\left(u_n+\frac{1}{u_n}\right)}^2-u_n^2=u_n^2+2+\frac{1}{u_n^2}-u_n^2=2+\frac{1}{u_n^2}.$$ Comme $u_n\to +\infty$, on a $\frac{1}{u_n^2}\to 0$, donc $$v_{n+1}-v_n⟶2.$$

Étape 5 — Cesàro. Le lemme de Cesàro, sous sa forme « accroissements », dit exactement ceci : si $v_{n+1}-v_n\to \ell$ fini, alors $\frac{v_n}{n}\to \ell$. Ici $$\frac{u_n^2}{n}⟶2,\text{c’est-aˋ-dire}{u}_n^2\sim 2n.$$ Comme $u_n>0$, la racine carrée (fonction continue et croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$) préserve l'équivalent : $$\boxed{u_n\sim \sqrt{2n}}.$$

Le point délicat — pourquoi les carrés, et pas la suite elle-même. On serait tenté d'écrire directement $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{u_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2n}}$ puis de sommer. Mais cet équivalent est le résultat cherché : le raisonnement serait circulaire. Le passage aux carrés brise le cercle, parce que l'accroissement $v_{n+1}-v_n=2+\frac{1}{u_n^2}$ a une limite qui ne dépend plus de l'inconnue — la seule chose qu'il faille savoir sur $u_n$ est qu'elle tend vers l'infini, ce qu'on a établi indépendamment à l'étape 3.

Contrôle numérique (itération en précision étendue, $u_0=1$) :

$n$	$u_n$	$\sqrt{2n}$	rapport	$u_n^2-2n$
$10$	$4,78871$	$4,47214$	$1,0708$	$2,93$
$100$	$14,28406$	$14,14214$	$1,0100$	$4,03$
$10^4$	$141,44373$	$141,42136$	$1,000158$	$6,33$
$10^6$	$1414,21661$	$1414,21356$	$1,0000022$	$8,63$

Le rapport tend bien vers $1$. La convergence est lente, et la dernière colonne dit pourquoi : l'écart $u_n^2-2n$ ne tend pas vers une constante, il croît comme $\frac{1}{2}\ln n$ (pour $n=10^6$, $\frac{1}{2}\ln n=6,91$, à comparer à $8,63=6,91+1,72$). L'équivalent est donc juste, mais il ne dit rien de ce terme logarithmique — que la même méthode, poussée d'un cran, permettrait d'atteindre.

Contrôle de robustesse. Avec $u_0=0,1$ puis $u_0=5$, on obtient à $n=10^6$ respectivement $u_n=1414,25067$ et $u_n=1414,22440$ : le rapport à $\sqrt{2n}$ vaut $1,0000262$ et $1,0000077$. L'équivalent ne dépend pas de $u_0$, conformément au fait que $u_0$ ne survit ni à l'étape 4 ni à Cesàro.