Donner un équivalent du reste de Σ 1/(k² + √k) et des sommes…

Reste de $\sum \frac{1}{k^2+\sqrt{k}}$. On a $u_k=\frac{1}{k^2+\sqrt{k}}\sim \frac{1}{k^2}$, termes positifs, et $\sum \frac{1}{k^2}$ converge. Par sommation des équivalents (cas convergent), les restes sont équivalents : $$\sum _{k>n}{u}_k\sim \sum _{k>n}\frac{1}{k^2}.$$ La comparaison série-intégrale ($t\mapsto \frac{1}{t^2}$ décroissante) donne $\frac{1}{n+1}\le {\sum }_{k>n}\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{n}$, donc ce reste est équivalent à $\frac{1}{n}$. Conclusion : $\sum _{k>n}\frac{1}{k^2+\sqrt{k}}\sim \frac{1}{n}$.

Sommes partielles de $\sum \frac{k}{k^2+1}$. On a $v_k=\frac{k}{k^2+1}\sim \frac{1}{k}$, termes positifs, et $\sum \frac{1}{k}$ diverge. Par sommation des équivalents (cas divergent), les sommes partielles sont équivalentes : $$\sum _{k=1}^n\frac{k}{k^2+1}\sim \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=H_n\sim \ln n.$$