Donner un équivalent du reste de Σ 1/k³ (réponse : 1/2n²) et de la…

Reste de $\sum \frac{1}{k^3}$. La fonction $t\mapsto \frac{1}{t^3}$ décroît sur $[1,+\infty [$, donc pour $k\ge 2$ : $${\int }_k^{k+1}\frac{\mathrm{d}t}{t^3}\le \frac{1}{k^3}\le {\int }_{k-1}^k\frac{\mathrm{d}t}{t^3}.$$ En sommant pour $k\ge n+1$ : ${\int }_{n+1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^3}\le R_n\le {\int }_n^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^3}$, soit $\frac{1}{2(n+1{)}^2}\le R_n\le \frac{1}{2n^2}$. Les deux bornes sont équivalentes à $\frac{1}{2n^2}$, donc $R_n\sim \frac{1}{2n^2}$.

Sommes partielles de $\sum \ln k$. Ici $S_n={\sum }_{k=1}^n\ln k=\ln (n!)$. La fonction $\ln$ croît, donc pour $k\ge 2$ : ${\int }_{k-1}^k\ln t\mathrm{d}t\le \ln k\le {\int }_k^{k+1}\ln t\mathrm{d}t$. En sommant de $k=2$ à $n$ (le terme $\ln 1$ est nul) et avec ${\int }_1^x\ln t\mathrm{d}t=x\ln x-x+1$ : $$n\ln n-n+1\le S_n\le (n+1)\ln (n+1)-n.$$ Les deux bornes sont équivalentes à $n\ln n$ (car $\ln (n+1)\sim \ln n$ et $n=o(n\ln n)$), donc $\ln (n!)\sim n\ln n$.