Équivalent de reste par sommation

Séries Numériques · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire · niveau 2

Énoncé

Soit $u_{n} = \frac{1}{n ^{2} + n}$ . Donner un équivalent du reste $R_{n}$ par la sommation des relations de comparaison, puis vérifier par un calcul exact.

Corrigé

$u_{n} \sim \frac{1}{n ^{2}}$ , référence positive de série convergente : par sommation des équivalents (cas convergent), $R_{n} \sim R_{n} (\frac{1}{k ^{2}}) \sim \frac{1}{n} (comparaison s e ˊ rie-int e ˊ grale) .$ Vérification exacte : $u_{k} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ (éléments simples, première année), donc le reste télescope : $R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = \frac{1}{n + 1} \sim \frac{1}{n} . ✓$ (Quand le télescopage est disponible, il donne l'exact ; la sommation des équivalents, elle, marche toujours — c'est l'outil générique.)

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