La constante d'Euler, par le lien suite-série

Par le lien suite-série, étudions la série des différences : $$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-\ln \frac{n+1}{n}=\frac{1}{n+1}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$$ $$=\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)-\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)=O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ (développements limités). La série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ est dominée par une série de Riemann convergente : elle converge absolument, donc la suite $(u_n)$ converge — vers une limite notée $\gamma \approx 0,577$.

Vitesse : $\gamma -u_n={\sum }_{k\ge n}(u_{k+1}-u_k)=O\left({\sum }_{k\ge n}\frac{1}{k^2}\right)=O\left(\frac{1}{n}\right)$ (sommation des $O$, cas convergent, puis comparaison série-intégrale). D'où le développement asymptotique $H_n=\ln n+\gamma +O\left(\frac{1}{n}\right)$ — le trio lien suite-série $+$ DL $+$ sommation des comparaisons dans un seul exercice : tout le chapitre en miniature.