La constante d'Euler, par le lien suite-série

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PT), chapitre 5 — Séries Numériques · Niveau ★★★ — approfondissement

Énoncé

Montrer que la suite $u_{n} = H_{n} - ln n$ converge (sa limite est la constante d'Euler $γ$ ), et préciser la vitesse : $H_{n} = ln n + γ + O (\frac{1}{n})$ .

Corrigé

Par le lien suite-série, étudions la série des différences : $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{n + 1} - ln \frac{n + 1}{n} = \frac{1}{n + 1} - ln (1 + \frac{1}{n})$ $= \frac{1}{n} - \frac{1}{n ^{2}} + O (\frac{1}{n ^{3}}) - \frac{1}{n} + \frac{1}{2 n ^{2}} + O (\frac{1}{n ^{3}}) = O (\frac{1}{n ^{2}})$ (développements limités). La série $\sum (u_{n + 1} - u_{n})$ est dominée par une série de Riemann convergente : elle converge absolument, donc la suite $(u_{n})$ converge — vers une limite notée $γ \approx 0, 577$ .

Vitesse : $γ - u_{n} = \sum_{k \geq n} (u_{k + 1} - u_{k}) = O (\sum_{k \geq n} \frac{1}{k ^{2}}) = O (\frac{1}{n})$ (sommation des $O$ , cas convergent, puis comparaison série-intégrale). D'où le développement asymptotique $H_{n} = ln n + γ + O (\frac{1}{n})$ — le trio lien suite-série $+$ DL $+$ sommation des comparaisons dans un seul exercice : tout le chapitre en miniature.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.