Nature de : Σ (2ⁿ)/(n!), Σ n¹⁰/(3ⁿ), Σ (n!)/(nⁿ) (pour la dernière…

Séries Numériques · niveau 1 (application)

Énoncé

Nature de : $\sum \frac{2 ^{n}}{n !}$ , $\sum \frac{n ^{10}}{3 ^{n}}$ , $\sum \frac{n !}{n ^{n}}$ (pour la dernière : $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = (\frac{n}{n + 1})^{n} \to \frac{1}{e} < 1$ — d'Alembert conclut là où la première année majorait à la main).

Corrigé

Les trois séries sont à termes strictement positifs : on applique la règle de d'Alembert.

$u_{n} = \frac{2 ^{n}}{n !}$ : $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{2}{n + 1} \to 0 < 1$ , la série converge (sa somme vaut $e^{2}$ ).
$v_{n} = \frac{n ^{10}}{3 ^{n}}$ : $\frac{v _{n + 1}}{v _{n}} = \frac{1}{3} (\frac{n + 1}{n})^{10} \to \frac{1}{3} < 1$ , la série converge.
$w_{n} = \frac{n !}{n ^{n}}$ : $\frac{w _{n + 1}}{w _{n}} = \frac{( n + 1 )!}{( n + 1 ) ^{n + 1}} \cdot \frac{n ^{n}}{n !} = (\frac{n}{n + 1})^{n} = exp (- n ln (1 + \frac{1}{n})) \to e^{- 1} < 1$ , la série converge.

Pour la dernière, la limite se lit sur $n ln (1 + \frac{1}{n}) = 1 + o (1)$ .

Nature de : Σ (2ⁿ)/(n!), Σ n¹⁰/(3ⁿ), Σ (n!)/(nⁿ) (pour la dernière…

Énoncé

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