Nature, selon a > 0, de Σ (aⁿ)/n² et de Σ (aⁿ n!)/((2n)!).

Série $\sum \frac{a^n}{n^2}$. Le terme est strictement positif et $\frac{u_{n+1}}{u_n}=a{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^2\to a$.

• Si $a<1$ : convergence par d'Alembert.
• Si $a>1$ : divergence ; plus précisément $\frac{a^n}{n^2}\to +\infty$ par croissances comparées, la divergence est grossière.
• Si $a=1$ : d'Alembert ne conclut pas, mais $\sum \frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann convergente.

Conclusion : la série converge si et seulement si $a\le 1$.

Série $\sum \frac{a^{n}n!}{(2n)!}$. Avec $v_n=\frac{a^{n}n!}{(2n)!}>0$ : $$\frac{v_{n+1}}{v_n}=a\frac{(n+1)}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{a}{2(2n+1)}⟶0<1.$$ La série converge pour tout $a>0$.