Une application linéaire passe sous le signe somme

Stratégie. Deux choses à établir, et une seule clé pour les deux : une inégalité de la forme $\Vert v(y)\Vert \le K\Vert y\Vert$. Elle transporte la convergence absolue (par comparaison de séries positives), et sa conséquence — la continuité de $v$ — permet ensuite de passer à la limite dans une identité vraie à chaque rang fini.

Les espaces $E$ et $F$ sont de dimension finie, $v\in \mathcal{L}(E,F)$, et $\sum u_n$ est une série d'éléments de $E$ telle que $\sum \Vert u_n\Vert$ converge.

Étape 1 — l'inégalité linéaire. $E$ étant de dimension finie, l'application linéaire $v$ est continue (théorème du cours : en dimension finie, toute application linéaire est continue). Montrons qu'il existe $K\ge 0$ tel que $$\Vert v(y)\Vert \le K\Vert y\Vert \text{pour tout }y\in E.$$ La sphère unité $S=\{y\in E:\Vert y\Vert =1\}$ est non vide (si $E\ne \{0\}$ ; sinon tout est trivial), fermée et bornée dans $E$ de dimension finie, et $y\mapsto \Vert v(y)\Vert$ y est continue (composée de $v$, continue, et de la norme, $1$-lipschitzienne). Le théorème des bornes atteintes fournit $$K=\underset{\Vert y\Vert =1}{\max }\Vert v(y)\Vert <+\infty .$$ Pour $y\ne 0$, en écrivant $y=\Vert y\Vert \cdot \frac{y}{\Vert y\Vert }$ et en utilisant la linéarité puis l'homogénéité de la norme : $$\Vert v(y)\Vert =\Vert y\Vert \cdot \Vert v\left(\frac{y}{\Vert y\Vert }\right)\Vert \le K\Vert y\Vert ,$$ et elle est encore vraie en $y=0$, où les deux membres sont nuls (par linéarité, $v(0)=0$).

Étape 2 — convergence absolue de $\sum v(u_n)$. Par l'étape 1, $$0\le \Vert v(u_n)\Vert \le K\Vert u_n\Vert .$$ La série $\sum K\Vert u_n\Vert$ converge par hypothèse ; par comparaison de séries à termes positifs, $\sum \Vert v(u_n)\Vert$ converge : la série $\sum v(u_n)$ est absolument convergente. Comme $F$ est de dimension finie, l'absolue convergence entraîne la convergence (théorème du cours) : $\sum v(u_n)$ converge dans $F$.

(Le même argument, appliqué dans $E$, garantit d'abord que $\sum u_n$ converge : c'est ce qui donne un sens au membre de droite de l'identité à démontrer.)

Étape 3 — l'identité des sommes. Notons $S_N={\sum }_{n=0}^N{u}_n$ la somme partielle dans $E$. Par linéarité de $v$ (récurrence immédiate sur $N$) : $$v(S_N)=\sum _{n=0}^{N}v(u_n)\text{pour tout }N.$$ Faisons tendre $N$ vers $+\infty$ :

• à gauche, $S_N\to S={\sum }_{n=0}^{+\infty }{u}_n$ (étape 2 dans $E$), et $v$ est continue, donc $v(S_N)\to v(S)$ ;
• à droite, la somme partielle tend vers ${\sum }_{n=0}^{+\infty }v(u_n)$ (étape 2 dans $F$).

Par unicité de la limite dans l'espace normé $F$ : $$\boxed{\sum _{n=0}^{+\infty }v(u_n)=v\left(\sum _{n=0}^{+\infty }{u}_n\right).}$$

Le point délicat. La dimension finie est utilisée trois fois, et chaque emploi est indispensable :

• pour la continuité de $v$ (étape 1) — en dimension infinie, une application linéaire peut très bien être discontinue, comme la dérivation sur $\mathbb{R}[X]$ ;
• pour « absolument convergente $\Rightarrow$ convergente » dans $E$, afin que $S$ existe ;
• pour la même implication dans $F$.

On notera aussi que la continuité de $v$ ne suffit pas seule : c'est bien l'inégalité quantitative $\Vert v(u_n)\Vert \le K\Vert u_n\Vert$, et non la simple continuité, qui permet la comparaison de séries.

Contrôle. Prenons $E=F={\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, $v=\mathrm{tr}$ (linéaire), $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ et $u_n=2^{-n}A$.

• ${\sum }_{n\ge 0}\Vert u_n\Vert =\Vert A\Vert {\sum }_{n\ge 0}{2}^{-n}=2\Vert A\Vert$ : la série est absolument convergente, et ${\sum }_{n\ge 0}{u}_n=2A$.
• Membre de droite : $\mathrm{tr}(2A)=2\times (1+4)=10$.
• Membre de gauche : ${\sum }_{n\ge 0}\mathrm{tr}(u_n)={\sum }_{n\ge 0}{2}^{-n}\times 5=5\times 2=10$. ✓

Et l'inégalité de l'étape 1 se lit ici concrètement : pour la norme $\Vert M\Vert =\sqrt{\mathrm{tr}(M^{\top }M)}$, on a $|\mathrm{tr}(M)|=|⟨I_2,M⟩|\le \sqrt{2}\Vert M\Vert$ par Cauchy-Schwarz, soit $K=\sqrt{2}$ — valeur atteinte en $M=I_2$.