(⋆) Calculer Σₙ₌₀^+∞ (n² + 1)/(n!) xⁿ pour tout x ∈ ℝ (écrire n² =…

On écrit $n^2+1=n(n-1)+n+1$ et on découpe en trois séries de rayon infini : $$\sum _{n=2}^{+\infty }\frac{n(n-1)}{n!}{x}^n=x^2\sum _{n=2}^{+\infty }\frac{x^{n-2}}{(n-2)!}=x^2{e}^x,$$ $$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{n}{n!}{x}^n=x\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=x{e}^x,$$ $$\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{x^n}{n!}=e^x.$$ Les termes d'indices $0$ et $1$ omis dans les deux premières sommes sont nuls. Par somme de séries convergentes, pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $$\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{n^2+1}{n!}{x}^n=\left(x^2+x+1\right)e^x,$$ de rayon infini. Contrôle en $x=4$ : $21e^4\approx 1146,561$.