Développement de e^x cos x par le complexe 1+i

Stratégie. Le produit $e^x\cos x$ n'a pas de développement immédiat, mais $e^x{e}^{ix}=e^{(1+i)x}$ en a un : c'est une exponentielle, dont la série est connue et de rayon infini. On développe donc dans le complexe, où le calcul est facile, et l'on redescend au réel en prenant la partie réelle.

Étape 1 — l'écriture complexe. Pour $x$ réel, $$e^{(1+i)x}=e^x{e}^{ix}=e^x\left(\cos x+i\sin x\right),$$ donc, $e^x$ et $\cos x$ étant réels, $$e^x\cos x=\mathrm{Re}\left(e^{(1+i)x}\right).$$

Étape 2 — la série exponentielle complexe. Pour tout $z\in \mathbb{C}$, $e^z=\sum _{n\ge 0}\frac{z^n}{n!}$, de rayon infini (cours : série exponentielle d'une variable complexe). Avec $z=(1+i)x$ : $$e^{(1+i)x}=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(1+i{)}^n}{n!}{x}^n\text{pour tout }x\in \mathbb{R}.$$

Étape 3 — la forme trigonométrique de $1+i$. Son module est $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ et son argument $\frac{\pi }{4}$ (partie réelle et partie imaginaire égales et positives), donc $1+i=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$ et $$(1+i{)}^n=2^{n/2}{e}^{in\pi /4}=2^{n/2}\left(\cos \frac{n\pi }{4}+i\sin \frac{n\pi }{4}\right).$$

Étape 4 — passer à la partie réelle. L'application $\mathrm{Re}:\mathbb{C}\to \mathbb{R}$ est $\mathbb{R}$-linéaire et continue (elle est $1$-lipschitzienne : $|\mathrm{Re}(z)-\mathrm{Re}(z^{\prime })|\le |z-z^{\prime }|$). Elle commute donc avec la limite des sommes partielles : $$\mathrm{Re}\left(\underset{N}{\lim }\sum _{n=0}^N\frac{(1+i{)}^n}{n!}{x}^n\right)=\underset{N}{\lim }\sum _{n=0}^N\mathrm{Re}\left(\frac{(1+i{)}^n}{n!}{x}^n\right).$$ D'où, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $$\boxed{e^x\cos x=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{2^{n/2}\cos \left(\frac{n\pi }{4}\right)}{n!}{x}^n,R=+\infty .}$$ Le rayon est infini car $\left|a_n\right|\le \frac{2^{n/2}}{n!}$ et ${\sum }_n\frac{{\left(\sqrt{2}|x|\right)}^n}{n!}$ converge pour tout $x$ (série exponentielle).

Le point délicat. Prendre la partie réelle « terme à terme » n'est pas gratuit : c'est licite parce que $\mathrm{Re}$ est linéaire et continue, donc échange avec le passage à la limite. Une opération quelconque — le module, par exemple — n'a pas cette propriété : $\left|\sum z_n\right|\ne \sum |z_n|$ en général.

Lecture des coefficients. La suite $\cos \frac{n\pi }{4}$ est $8$-périodique et vaut, pour $n\equiv 0,1,2,3,4,5,6,7(\mathrm{mod}8)$ : $$1,\frac{\sqrt{2}}{2},0,-\frac{\sqrt{2}}{2},-1,-\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}.$$ Les coefficients $a_n$ sont donc nuls exactement pour $n\equiv 2(\mathrm{mod}4)$. Les premiers valent $$a_0=1,a_1=1,a_2=0,a_3=-\frac{1}{3},a_4=-\frac{1}{6},a_5=-\frac{1}{30},a_6=0,a_7=\frac{1}{630},a_8=\frac{1}{2520},$$ c'est-à-dire $$e^x\cos x=1+x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{6}-\frac{x^5}{30}+\frac{x^7}{630}+\frac{x^8}{2520}+\cdots$$

Contrôle 1 — par un développement limité direct, indépendant de toute la méthode. $$e^x\cos x=\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\right)\left(1-\frac{x^2}{2}\right)+O(x^4)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{2}+O(x^4),$$ soit $1+x+0\cdot x^2-\frac{x^3}{3}+O(x^4)$ : on retrouve bien $a_2=0$ et $a_3=-\frac{1}{3}$. ✓

Contrôle 2 — numérique, en quatre points. Somme des $120$ premiers termes de la série, comparée à la valeur exacte :

$x$	${\sum }_{n\le 119}{a}_n{x}^n$	$e^x\cos x$	écart
$0,5$	$1,446889036584169$	$1,446889036584169$	$<10^{-40}$
$1$	$1,468693939915885$	$1,468693939915885$	$<10^{-40}$
$2$	$-3,074932320639359$	$-3,074932320639359$	$<10^{-40}$
$-3$	$-0,049288824111919$	$-0,049288824111919$	$<10^{-40}$

Accord à quinze décimales affichées (et bien au-delà : le calcul est mené à $40$ chiffres significatifs), y compris en $x=-3$, où la série alterne fortement — un test sévère du rayon infini.