(⋆) Développer en série entière en 0, en précisant chaque fois le…

Premier développement. Pour $|x|<1$, $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\ln (1+x)-\ln (1-x)$, et $$\ln (1+x)=\sum _{n\ge 1}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n,-\ln (1-x)=\sum _{n\ge 1}\frac{x^n}{n}.$$ Le coefficient de $x^n$ dans la somme vaut $\frac{1+(-1{)}^{n-1}}{n}$ : $\frac{2}{n}$ si $n$ est impair, $0$ sinon. D'où $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2{\sum }_{p\ge 0}\frac{x^{2p+1}}{2p+1}$, de rayon $1$ (convergence pour $|x|<1$, divergence en $x=1$, série harmonique des impairs).

Deuxième développement. Série binomiale d'exposant $\alpha =-\frac{1}{2}$, de rayon $1$ puisque $\alpha \notin \mathbb{N}$ : $$\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\sum _{n\ge 0}\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n,$$ $$\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\cdots \left(-\frac{2n-1}{2}\right)}{n!}=\frac{(-1{)}^{n}1\cdot 3\cdots (2n-1)}{2^{n}n!}=\frac{(-1{)}^n}{4^n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right),$$ en utilisant $1\cdot 3\cdots (2n-1)=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}$. Donc $\frac{1}{\sqrt{1+x}}={\sum }_{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{4^n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)x^n$ ; premiers termes $1-\frac{x}{2}+\frac{3x^2}{8}-\frac{5x^3}{16}+\cdots$

Troisième développement. Série géométrique en $x^4$ : pour $|x|<1$, $\frac{x^3}{1-x^4}=x^3{\sum }_{n\ge 0}{x}^{4n}={\sum }_{n\ge 0}{x}^{4n+3}$, série lacunaire de rayon $1$ (le terme ne tend pas vers $0$ pour $|x|=1$).

Contrôle en $x=0,5$ : $\ln 3\approx 1,098612$, $\frac{1}{\sqrt{1,5}}\approx 0,8164966$ et $\frac{0,125}{0,9375}\approx 0,1333333$, valeurs approchées par les sommes partielles des trois séries.