Développer en série entière en 0, en précisant le rayon : 1/(2 - x)…

Séries Entières · niveau 1 (application)

Énoncé

Développer en série entière en $0$ , en précisant le rayon : $\frac{1}{2 - x}$ , $ln (1 - x)$ , $\frac{x}{1 + x ^{2}}$ , $e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 - x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{2}} = n = 0 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{2 ^{n + 1}}$ , valable pour $\frac{x}{2} < 1$ : rayon $R = 2$ .
$ln (1 - x) = - n = 1 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{n}$ (primitive nulle en $0$ de $- \frac{1}{1 - x} = - \sum x^{n}$ ) : rayon $R = 1$ .
$\frac{x}{1 + x ^{2}} = x n = 0 \sum + \infty (- 1)^{n} x^{2 n} = n = 0 \sum + \infty (- 1)^{n} x^{2 n + 1}$ , série géométrique en $- x^{2}$ , valable pour $x^{2} < 1$ : rayon $R = 1$ .
$e^{x^{2}} = n = 0 \sum + \infty \frac{x ^{2 n}}{n !}$ , en substituant $x^{2}$ dans le développement de l'exponentielle, valable pour tout réel : rayon $R = + \infty$ .