Le rayon est dicté par le pôle le plus proche

Stratégie : décomposer en éléments simples, développer chaque pôle en série géométrique, additionner sur l'intersection des deux domaines — puis lire le rayon de deux façons indépendantes et constater qu'il coïncide avec la distance de $0$ au pôle le plus proche.

Soit $f(x)=\frac{1}{(1-x)(1-2x)}$.

1. Décomposition en éléments simples. Cherchons $A,B$ tels que $f(x)=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1-2x}$, c'est-à-dire $1=A(1-2x)+B(1-x)$ pour tout $x$.

• En $x=1$ : $1=A\cdot (-1)$, donc $A=-1$.
• En $x=\frac{1}{2}$ : $1=B\cdot \frac{1}{2}$, donc $B=2$.

$$f(x)=\frac{2}{1-2x}-\frac{1}{1-x}.$$ (Vérification en $x=0$ : $2-1=1=f(0)$. $✓$)

2. Développement de chaque morceau.

• $\frac{1}{1-2x}=\sum _{n\ge 0}(2x{)}^n=\sum _{n\ge 0}{2}^n{x}^n$, valable pour $|2x|<1$, soit $|x|<\frac{1}{2}$ : rayon $\frac{1}{2}$.
• $\frac{1}{1-x}=\sum _{n\ge 0}{x}^n$, valable pour $|x|<1$ : rayon $1$.

Sur l'intersection $\left]-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right[$, les deux séries convergent absolument et l'on peut les combiner terme à terme : $$\boxed{f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }\left(2\cdot 2^n-1\right)x^n=\sum _{n=0}^{+\infty }\left(2^{n+1}-1\right)x^n.}$$ Premiers coefficients : $a_0=1$, puis $3,7,15,31,63,127$ — les nombres de Mersenne. (Vérification : $a_0=1=f(0)$, et $f(x)=1+3x+7x^2+\cdots$ se retrouve en développant $\frac{1}{(1-x)(1-2x)}=(1+x+x^2+\cdots )(1+2x+4x^2+\cdots )$, dont le coefficient de $x^n$ est ${\sum }_{k=0}^n{2}^k=2^{n+1}-1$ : le produit de Cauchy donne la même chose, et c'est une seconde route complète.)

3. Le rayon, deux façons.

Par d'Alembert sur les coefficients. $a_n=2^{n+1}-1>0$ et $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+2}-1}{2^{n+1}-1}=2\cdot \frac{1-2^{-n-2}}{1-2^{-n-1}}\underset{n\to +\infty }{\to }2,\text{donc}R=\frac{1}{2}.$$

Par la règle de la somme. $f$ est la somme de deux séries entières de rayons $R_1=\frac{1}{2}$ et $R_2=1$. Lorsque les rayons sont distincts, le rayon de la somme est $\min (R_1,R_2)$ — car pour $\min <|x|<\max$, l'une des deux séries converge et l'autre diverge grossièrement, donc leur somme diverge. Ici $\frac{1}{2}\ne 1$, donc $R=\frac{1}{2}$ sans aucun calcul. (Quand les rayons sont égaux on n'a que $R\ge \min$, une compensation restant possible : $\sum x^n$ et $\sum (-x^n)$ ont pour somme la série nulle, de rayon infini.)

4. Ce que le rayon « voit ». $f$ est une fraction rationnelle dont les pôles sont $x=1$ et $x=\frac{1}{2}$. Le plus proche de $0$ est $\frac{1}{2}$, à distance $\frac{1}{2}=R$ : le rayon est la distance du centre au pôle le plus proche. Le mécanisme est clair sur la décomposition — chaque élément simple $\frac{c}{1-\lambda x}$ apporte un rayon $\frac{1}{|\lambda |}$, exactement la distance de $0$ à son pôle $\frac{1}{\lambda }$, et le plus petit l'emporte.

La règle vaut aussi pour les pôles complexes, et c'est ce qui la rend éclairante : $\frac{1}{1+x^2}$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$ tout entier, sans rien de singulier en vue, et pourtant son développement $\sum (-1{)}^n{x}^{2n}$ a un rayon égal à $1$ — la distance de $0$ aux pôles $\pm i$. Une fonction réelle parfaitement lisse peut avoir un rayon fini, et c'est la variable complexe qui dit pourquoi.

Contrôle chiffré.

En $x=\frac{1}{4}$, bien à l'intérieur. Valeur exacte : $f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}}=\frac{8}{3}=2,666666667$.

somme partielle	valeur	écart
$13$ termes ($n=0$ à $12$)	$2,666178405$	$4,88\cdot 10^{-4}$

L'écart prévu vaut ${\sum }_{n\ge 13}\frac{2^{n+1}-1}{4^n}\approx 2{\sum }_{n\ge 13}{2}^{-n}=2^{-11}=4,88\cdot 10^{-4}$ : la prévision et la mesure coïncident.

En $x=0,49$, tout près du bord. $f(0,49)=98,039216$, tandis que $400$ termes ne donnent que $98,008282$ (écart $3,1\cdot 10^{-2}$). Le rayon n'est pas une frontière décorative : la convergence se dégrade continûment à son approche, la raison effective $2x$ tendant vers $1$.

Acquis. Décomposer en éléments simples est la méthode systématique pour développer une fraction rationnelle ; chaque pôle donne une géométrique et son propre rayon ; le rayon global est le plus petit, c'est-à-dire la distance au pôle le plus proche — pôles complexes compris.