Quatre rayons de convergence, quatre méthodes

Séries Entières · niveau 1 (application)

Énoncé

Calculer les rayons de : $\sum \frac{n !}{n ^{n}} z^{n}$ , $\sum (n 2 n) z^{n}$ , $\sum sin (n) z^{n}$ , $\sum z^{n!}$ (réponses : $e$ , $\frac{1}{4}$ (chapitre 5 !), $1$ (suite bornée ne tendant pas vers $0$ ), $1$ (lacunaire : définition)).

Corrigé

$\sum \frac{n !}{n ^{n}} z^{n}$ : $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = (\frac{n}{n + 1})^{n} \to e^{- 1}$ , donc par la règle de d'Alembert $R = e$ .
$\sum (n 2 n) z^{n}$ : $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 )}{( n + 1 ) ^{2}} = \frac{2 ( 2 n + 1 )}{n + 1} \to 4$ , donc $R = \frac{1}{4}$ .
$\sum sin (n) z^{n}$ : la suite $(sin n)$ est bornée, donc pour $∣ z ∣ < 1$ on a $∣ sin (n) z^{n} ∣ \leq ∣ z ∣^{n}$ et la série converge : $R \geq 1$ . Mais $sin n \neq \to 0$ : sinon $sin (n + 1) = sin n cos 1 + cos n sin 1$ donnerait $cos n \to 0$ aussi, contredisant $cos^{2} n + sin^{2} n = 1$ . La série diverge donc grossièrement en $z = 1$ , d'où $R \leq 1$ : $R = 1$ .
$\sum z^{n!}$ : la règle de d'Alembert ne s'applique pas (une infinité de coefficients nuls). Pour $∣ z ∣ < 1$ , $∣ z^{n!} ∣ \leq ∣ z ∣^{n}$ , terme général d'une série géométrique convergente ; pour $∣ z ∣ = 1$ , $∣ z^{n!} ∣ = 1 \neq \to 0$ . Par définition du rayon, $R = 1$ .

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