Rayons : d'Alembert, racine n-ième, et deux cas où ils échouent

Séries Entières · A. Rayon de convergence et lemme d'Abel · niveau 1 (application)

Énoncé

( $⋆$ ) Déterminer le rayon de convergence de $\sum \frac{( 3 n )!}{( n ! ) ^{3}} z^{n}, \sum \frac{z ^{n}}{n 3 ^{n}}, \sum \frac{3 ^{n} + ( - 2 ) ^{n}}{n} z^{n}, \sum (2 + (- 1)^{n})^{n} z^{n} .$ (pour la première, la règle de d'Alembert : le quotient vaut $\frac{( 3 n + 3 ) ( 3 n + 2 ) ( 3 n + 1 )}{( n + 1 ) ^{3}}$ , de limite $27$ , donc $R = \frac{1}{27}$ ; pour la deuxième, $R = 3$ ; pour la troisième, un équivalent suffit — $a_{n} \sim \frac{3 ^{n}}{n}$ et deux suites équivalentes ont même rayon, donc $R = \frac{1}{3}$ . La quatrième échappe à d'Alembert — le quotient $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ oscille entre $3^{n + 1}$ et $3^{- n}$ : revenir à la définition, la suite $(2 + (- 1)^{n})^{n} r^{n}$ est bornée si et seulement si $3 r \leq 1$ , donc $R = \frac{1}{3}$ ).

Corrigé

$a_{n} = \frac{( 3 n )!}{( n ! ) ^{3}}$ : $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{( 3 n + 3 ) ( 3 n + 2 ) ( 3 n + 1 )}{( n + 1 ) ^{3}} \to 27$ , donc par d'Alembert $R = \frac{1}{27}$ .
$a_{n} = \frac{1}{n 3 ^{n}}$ : $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{1}{3} \frac{n}{n + 1} \to \frac{1}{3}$ , donc $R = 3$ .
$a_{n} = \frac{3 ^{n} + ( - 2 ) ^{n}}{n} = \frac{3 ^{n}}{n} (1 + (- \frac{2}{3})^{n}) \sim \frac{3 ^{n}}{n}$ . Deux suites équivalentes définissent des séries entières de même rayon, et $\sum \frac{3 ^{n}}{n} z^{n}$ a pour rayon $\frac{1}{3}$ (quotient $\frac{3 n}{n + 1} \to 3$ ). Donc $R = \frac{1}{3}$ .
$a_{n} = (2 + (- 1)^{n})^{n}$ vaut $3^{n}$ pour $n$ pair et $1$ pour $n$ impair : le quotient $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ vaut alternativement $3^{- n}$ et $3^{n + 1}$ , il n'a pas de limite. On revient à la définition : pour $r > 0$ , la suite $(a_{n} r^{n})$ est bornée si et seulement si $(3 r)^{2 m}$ et $r^{2 m + 1}$ le sont, c'est-à-dire si et seulement si $3 r \leq 1$ (ce qui entraîne $r \leq 1$ ). Donc $R = \frac{1}{3}$ .

Rayons : d'Alembert, racine n-ième, et deux cas où ils échouent

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