Série génératrice des nombres de Lucas

Stratégie. C'est le mécanisme des fonctions génératrices, exactement celui de la fonction génératrice de Fibonacci : établir d'abord un rayon strictement positif — sans quoi rien de ce qui suit n'aurait de sens —, transformer ensuite la récurrence en une équation algébrique sur la somme, décomposer enfin en éléments simples et identifier les coefficients.

Étape 1 — le rayon est strictement positif. Montrons $a_n\le 2^{n+1}$ par récurrence double. C'est vrai pour $n=0$ ($a_0=2=2^1$) et $n=1$ ($a_1=1\le 4$). Si c'est vrai aux rangs $n$ et $n+1$ : $$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\le 2^{n+2}+2^{n+1}=3\cdot 2^{n+1}\le 4\cdot 2^{n+1}=2^{n+3}.$$ Donc $|a_n{x}^n|\le 2(2|x|{)}^n$ : pour $|x|<\frac{1}{2}$ la série est dominée par une géométrique convergente. Le rayon vérifie $R\ge \frac{1}{2}>0$, ce qui suffit pour la suite.

Étape 2 — la récurrence devient une équation. Pour $|x|<R$, posons $f(x)={\sum }_{n\ge 0}{a}_n{x}^n$. En utilisant $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ pour $n\ge 2$ : $$\sum _{n\ge 2}{a}_n{x}^n=x\sum _{n\ge 2}{a}_{n-1}{x}^{n-1}+x^2\sum _{n\ge 2}{a}_{n-2}{x}^{n-2}=x(f(x)-a_0)+x^{2}f(x).$$ Or le membre de gauche vaut $f(x)-a_0-a_{1}x=f(x)-2-x$. D'où $$f(x)-2-x=xf(x)-2x+x^{2}f(x),\text{soit}f(x)\left(1-x-x^2\right)=2-x,$$ et donc $$\boxed{f(x)=\frac{2-x}{1-x-x^2}}\text{pour }|x|<R.$$

Étape 3 — factoriser le dénominateur. Notons $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et ${\phi }^{\prime }=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ les deux racines de $X^2=X+1$, de sorte que $$\phi +{\phi }^{\prime }=1\text{et}\phi {\phi }^{\prime }=-1.$$ Alors, sans chercher les racines de $1-x-x^2$, il suffit de développer : $$(1-\phi x)(1-{\phi }^{\prime }x)=1-(\phi +{\phi }^{\prime })x+\phi {\phi }^{\prime }{x}^2=1-x-x^2.✓$$

Étape 4 — les éléments simples, vérifiés directement. Plutôt que de calculer les coefficients de la décomposition, additionnons et constatons : $$\frac{1}{1-\phi x}+\frac{1}{1-{\phi }^{\prime }x}=\frac{(1-{\phi }^{\prime }x)+(1-\phi x)}{(1-\phi x)(1-{\phi }^{\prime }x)}=\frac{2-(\phi +{\phi }^{\prime })x}{1-x-x^2}=\frac{2-x}{1-x-x^2}=f(x).$$

Étape 5 — identification. Pour $|x|<\min \left(\frac{1}{|\phi |},\frac{1}{|{\phi }^{\prime }|}\right)=\frac{1}{\phi }$ (car $|\phi |=1,618\dots >|{\phi }^{\prime }|=0,618\dots$), les deux fractions se développent en séries géométriques : $$f(x)=\sum _{n\ge 0}{\phi }^n{x}^n+\sum _{n\ge 0}{\phi }^{\prime n}{x}^n=\sum _{n\ge 0}\left({\phi }^n+{\phi }^{\prime n}\right)x^n.$$ Les deux développements en série entière de $f$ au voisinage de $0$ — celui de départ et celui-ci — ont un rayon strictement positif : par unicité des coefficients d'une série entière, $$\boxed{a_n={\phi }^n+{\phi }^{\prime n}={\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n+{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n}$$ et au passage $R=\frac{1}{\phi }=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,618$ : le pôle le plus proche de l'origine dicte le rayon.

Le point délicat. L'unicité des coefficients n'est légitime que parce que les deux séries ont un rayon strictement positif et coïncident sur tout un voisinage de $0$ — pas seulement en un point. C'est l'étape 1 qui achète ce droit, et c'est pour cela qu'elle vient en premier et non en dernier.

Contrôle. La récurrence donne $a_0,\dots ,a_{10}=2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123$.

test	valeur
$n=0$	${\phi }^0+{\phi }^{\prime 0}=1+1=2=a_0$ ✓
$n=1$	$\phi +{\phi }^{\prime }=1=a_1$ ✓
$n=10$	${\phi }^{10}=122,99187$, ${\phi }^{\prime 10}=0,00813$, somme $=123,00000=a_{10}$ ✓
$n\le 30$	écart maximal entre $a_n$ et ${\phi }^n+{\phi }^{\prime n}$ : $2,1\cdot 10^{-9}$ (erreur d'arrondi machine sur ${\phi }^{30}\approx 1,86\cdot 10^6$)

Test de la somme, en $x=\frac{1}{2}$ (bien dans le disque, car $\frac{1}{2}<\frac{1}{\phi }=0,618$) : $$\frac{2-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}=\frac{1,5}{0,25}=6,\text{et }\sum _{n=0}^{200}{a}_n{2}^{-n}=6,0000000000.✓$$ Enfin, le rapport $a_{35}/a_{34}$ vaut $1,6180339887$, à comparer à $\phi =1,6180339887$ : le rayon $\frac{1}{\phi }$ est bien celui annoncé.