Une série entière nulle en 1/k est nulle

Stratégie. Une récurrence sur l'ordre d'annulation. À chaque tour, la continuité en $0$ tue un coefficient ; on factorise $x$ pour recommencer avec la série décalée. L'astuce, à chaque tour, est de diviser en des points où c'est licite — les $\frac{1}{k}$, non nuls — puis seulement de faire tendre ces points vers $0$.

Soit $f(x)={\sum }_{n\ge 0}{a}_n{x}^n$ de rayon $R>0$, telle que $f\left(\frac{1}{k}\right)=0$ pour tout entier $k\ge k_0$. Quitte à augmenter $k_0$, on suppose $\frac{1}{k_0}<R$, de sorte que tous les points $\frac{1}{k}$, $k\ge k_0$, sont dans l'intervalle ouvert de convergence $]-R,R[$.

Préliminaire — les séries décalées. Pour $p\ge 0$, la série ${\sum }_{n\ge 0}{a}_{n+p}{x}^n$ a un rayon $\ge R$. En effet, pour $0<|x|<R$, $$\sum _{n\ge 0}\left|a_{n+p}\right||x{|}^n=\frac{1}{|x{|}^p}\sum _{m\ge p}\left|a_m\right||x{|}^m<+\infty ,$$ puisque ${\sum }_m|a_m||x{|}^m$ converge (convergence absolue à l'intérieur du disque de convergence). Notons $g_p$ la somme de cette série sur $]-R,R[$. Comme somme d'une série entière de rayon $\ge R$, $g_p$ est continue sur $]-R,R[$, et $$g_p(0)=a_p.$$ On a en particulier $g_0=f$.

Étape 1 — $a_0=0$. La suite ${\left(\frac{1}{k}\right)}_{k\ge k_0}$ tend vers $0$ et reste dans $]-R,R[$ ; $f$ est continue en $0$. Par caractérisation séquentielle de la continuité : $$a_0=f(0)=\underset{k\to +\infty }{\lim }f\left(\frac{1}{k}\right)=\underset{k\to +\infty }{\lim }0=0.$$

Étape 2 — l'hérédité. Supposons $a_0=a_1=\cdots =a_{p-1}=0$ pour un $p\ge 1$. Alors, pour $|x|<R$, $$f(x)=\sum _{n\ge p}{a}_n{x}^n=x^p\sum _{m\ge 0}{a}_{m+p}{x}^m=x^p{g}_p(x)$$ (réindexation $m=n-p$, licite car les deux séries convergent absolument).

Pour $k\ge k_0$ : ${\left(\frac{1}{k}\right)}^p\ne 0$ et $f\left(\frac{1}{k}\right)=0$, donc, en divisant par ${\left(\frac{1}{k}\right)}^p$ — ce qui est permis puisque ce nombre est non nul : $$g_p\left(\frac{1}{k}\right)=0\text{pour tout }k\ge k_0.$$ Maintenant seulement, on fait tendre $k$ vers $+\infty$ : $g_p$ étant continue en $0$, $$a_p=g_p(0)=\underset{k\to +\infty }{\lim }{g}_p\left(\frac{1}{k}\right)=0.$$

Étape 3 — conclusion. Par récurrence, $a_n=0$ pour tout $n\ge 0$. Donc $$\boxed{f\text{ est identiquement nulle sur }]-R,R[}$$ — et pas seulement au voisinage de $0$ : l'annulation de tous les coefficients donne d'un coup l'annulation sur tout l'intervalle de convergence.

Le point délicat. Tout tient dans l'ordre des deux opérations : on divise d'abord par $x^p$ en des points non nuls, on passe à la limite ensuite. En $x=0$ la division est interdite, et c'est précisément là que se trouve l'information cherchée. Le rôle de la suite $\left(\frac{1}{k}\right)$ est de fournir une infinité de points où la division est licite, tout en s'accumulant au point où elle ne l'est pas.

Ce que dit la contraposée. Une série entière non identiquement nulle ne peut pas s'annuler en une suite de points distincts convergeant vers $0$ : ses zéros ne s'accumulent pas en $0$. C'est ce qu'on résume en disant que les zéros de la somme d'une série entière non nulle sont isolés.

Contrôle : chaque hypothèse porte.

• Sans « somme d'une série entière » : $x\mapsto \sin \frac{1}{x}$ s'annule en $\frac{1}{k\pi }$ pour tout $k\ge 1$ — une infinité de zéros tendant vers $0$ — sans être nulle. Mais elle n'est pas somme d'une série entière au voisinage de $0$ : elle n'y est même pas prolongeable par continuité.
• Sans « accumulation en $0$ » : $\sin$ s'annule en tous les $k\pi$, une infinité de points, sans être nulle. Ces zéros ne s'accumulent nulle part à distance finie — aucune contradiction.
• Un nombre fini de zéros ne conclut rien : $x\mapsto x-x^2$ s'annule en $0$ et en $1$, et n'est pas nulle. C'est bien l'accumulation, et non le simple fait d'avoir des zéros, qui force l'annulation.
• Test positif : si l'on part de $f(x)=x-x^2$ et qu'on suit la mécanique, l'étape 1 donne $a_0=f(0)=0$ ✓, puis $g_1(x)=1-x$ avec $g_1(0)=1\ne 0$ — la récurrence s'arrête, comme elle le doit, car $f\left(\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{k}-\frac{1}{k^2}\ne 0$ pour $k\ge 2$ : l'hypothèse n'est pas satisfaite.