Dérivées uniformément bornées et série de Taylor sur ℝ

Stratégie. Majorer le reste de Taylor à l'ordre $n$ à $x$ fixé, puis faire tendre $n$ vers l'infini. Toute la force de l'hypothèse tient en ceci : la borne $M$ ne dépend ni de l'ordre de dérivation, ni du point — c'est cette double uniformité qui permet d'écrire une majoration du reste où seul $\frac{|x{|}^n}{n!}$ varie, et cette quantité-là tend vers $0$.

Hypothèse. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ et il existe $M\ge 0$ tel que $$\forall n\in \mathbb{N},\forall u\in \mathbb{R},|f^{(n)}(u)|\le M.$$

Mise en place. Fixons $x\in \mathbb{R}$. Pour $n\ge 1$, notons $$T_n(x)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k,R_n(x)=f(x)-T_n(x).$$ Dire que $f$ est somme de sa série de Taylor en $0$ au point $x$, c'est dire $R_n(x)\to 0$ quand $n\to +\infty$.

Étape 1 — l'inégalité de Taylor-Lagrange. $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^n$ sur le segment d'extrémités $0$ et $x$. L'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $n$ donne $$|R_n(x)|\le \frac{|x{|}^n}{n!}\underset{u\in [0,x]}{\sup }|f^{(n)}(u)|\le M\frac{|x{|}^n}{n!}.$$ C'est ici, et uniquement ici, que sert l'hypothèse : le $\sup$ est majoré par $M$ quel que soit $n$.

Étape 2 — le passage à la limite. À $x$ fixé, $\frac{|x{|}^n}{n!}$ est le terme général de la série exponentielle ${\sum }_{n\ge 0}\frac{|x{|}^n}{n!}=e^{|x|}$, qui converge : son terme général tend donc vers $0$. Par encadrement, $R_n(x)\to 0$, c'est-à-dire $T_n(x)\to f(x)$ : $$\boxed{\forall x\in \mathbb{R},f(x)=\sum _{n\ge 0}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n.}$$ En particulier cette série entière a un rayon de convergence infini, et $f$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Le point à ne pas manquer. La majoration $M\frac{|x{|}^n}{n!}$ n'est pas décroissante en $n$. Pour $|x|$ grand, le rapport de deux termes consécutifs vaut $\frac{|x|}{n+1}$ : la suite croît tant que $n<|x|$ et ne s'effondre qu'ensuite. Le seuil est $n\approx |x|$, et il peut être arbitrairement grand : la convergence est garantie, mais elle est « en retard » sur $x$. C'est exactement ce qui rend le calcul numérique de $\sin (20)$ par sa série de Taylor si instable.

Extension utile. Il suffit d'une hypothèse locale : si pour tout $a>0$ il existe $M_a$ majorant toutes les dérivées de $f$ sur $[-a,a]$, la même démonstration appliquée sur $[-a,a]$ (où le $\sup$ dans Taylor-Lagrange est pris sur $[0,x]\subset [-a,a]$) donne $f(x)=\sum \frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$ pour $|x|\le a$, donc sur $\mathbb{R}$. C'est ainsi que $\exp$ est développable : sur $[-a,a]$, ${\exp }^{(n)}=\exp \le e^a=:M_a$. Pour $\cos$ et $\sin$, l'hypothèse globale suffit telle quelle, avec $M=1$ (toutes les dérivées sont $\pm \cos$ ou $\pm \sin$).

La réciproque est fausse. Être développable en série entière n'impose nullement des dérivées bornées. Ainsi $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ est ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$, développable en série entière ($\sum (-1{)}^k{x}^{2k}$) mais de rayon $1$ seulement ; et ses dérivées en $0$ explosent : $|f^{(2k)}(0)|=(2k)!$, soit $2$, $24$, $720$, $40320$ pour $n=2,4,6,8$. Aucun $M$ ne les majore toutes.

Contrôle numérique. Sur $f=\sin$, qui vérifie l'hypothèse avec $M=1$ : la somme partielle de la série de Taylor poussée à l'ordre $80$ donne

$x$	série de Taylor (ordre $80$)	$\sin x$	$\frac{|x{|}^{80}}{80!}$
$1$	$0,841470984808$	$0,841470984808$	$\approx 10^{-119}$
$5$	$-0,958924274663$	$-0,958924274663$	$\approx 10^{-63}$
$20$	$0,912945250655$	$0,912945250728$	$1,7\cdot 10^{-15}$

Les deux premières lignes coïncident sur douze décimales. La troisième laisse un écart de $7\cdot 10^{-11}$ : ce n'est pas le reste de Taylor (qui vaut $1,7\cdot 10^{-15}$), c'est l'arrondi de la sommation alternée, qui manipule des termes montant jusqu'à $\frac{20^{19}}{19!}=4,31\cdot 10^7$ pour un résultat de l'ordre de $1$ — perte de dix chiffres significatifs. Le maximum de $\frac{20^n}{n!}$ est bien atteint en $n=19$, comme annoncé par le seuil $n\approx |x|$ ; la suite ne redescend sous $1$ qu'à partir de $n=52$, et vaut $1,39\cdot 10^{-4}$ en $n=60$.

Acquis. Ce résultat renverse le point de vue du chapitre 6 : « être développable en série entière » n'y était qu'une propriété à vérifier au cas par cas, ici elle devient la conclusion d'un théorème dont l'hypothèse porte sur les dérivées. C'est la démonstration canonique des développements de $\exp$, $\cos$, $\sin$, $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$.