Dériver un produit vectoriel, et la loi des aires en force centrale

Ce que l'on montre. Deux énoncés. D'abord, pour $f,g:I\to {\mathbb{R}}^3$ dérivables, la fonction $f\wedge g$ est dérivable et $(f\wedge g{)}^{\prime }=f^{\prime }\wedge g+f\wedge g^{\prime }$. Ensuite : si $f$ est deux fois dérivable et si $f^{\prime \prime }(t)$ est colinéaire à $f(t)$ pour tout $t$, alors $f\wedge f^{\prime }$ est un vecteur constant.

Ce qu'on s'autorise. La bilinéarité et l'antisymétrie du produit vectoriel ; sa continuité, chaque coordonnée de $u\wedge v$ étant un polynôme en les coordonnées de $u$ et de $v$ ; et le fait qu'une fonction vectorielle de dérivée nulle sur un intervalle est constante.

Étape 1 — la formule du produit. Fixons $t\in I$ et $h\ne 0$ tel que $t+h\in I$. La bilinéarité donne l'identité, valable pour tous vecteurs, $a\wedge b-c\wedge d=(a-c)\wedge b+c\wedge (b-d)$. Appliquée à $a=f(t+h)$, $b=g(t+h)$, $c=f(t)$, $d=g(t)$, puis divisée par $h$ : $$\frac{(f\wedge g)(t+h)-(f\wedge g)(t)}{h}=\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\wedge g(t+h)+f(t)\wedge \frac{g(t+h)-g(t)}{h}.$$ Quand $h\to 0$ : le premier taux tend vers $f^{\prime }(t)$, le second vers $g^{\prime }(t)$, et $g(t+h)\to g(t)$ puisque $g$, étant dérivable, est continue. Le produit vectoriel étant continu, on passe à la limite : $$\boxed{(f\wedge g{)}^{\prime }=f^{\prime }\wedge g+f\wedge g^{\prime }}$$

Le point délicat — l'ordre des facteurs. Le produit vectoriel est antisymétrique : $v\wedge u=-u\wedge v$. On ne peut donc pas échanger les deux membres d'un produit comme on le ferait pour un produit scalaire : écrire $g\wedge f^{\prime }$ à la place de $f^{\prime }\wedge g$ change le signe et fausse la formule. La décomposition de l'étape 1 a été menée en respectant les places.

Étape 2 — la quantité $f\wedge f^{\prime }$. Soit $f:I\to {\mathbb{R}}^3$ deux fois dérivable, telle que $f^{\prime \prime }(t)$ soit colinéaire à $f(t)$ pour tout $t\in I$. C'est la situation d'une force centrale : l'accélération pointe constamment vers un centre fixe, pris pour origine. Posons $C(t)=f(t)\wedge f^{\prime }(t)$. La formule du produit s'applique à $f$ et $f^{\prime }$ : $$C^{\prime }(t)=f^{\prime }(t)\wedge f^{\prime }(t)+f(t)\wedge f^{\prime \prime }(t)=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0},$$ le premier terme parce que $u\wedge u=\overrightarrow{0}$, le second parce que deux vecteurs colinéaires ont un produit vectoriel nul. Comme $I$ est un intervalle, $C$ est constante ; notons $C$ sa valeur.

Étape 3 — ce que la constance signifie : la loi des aires. Le vecteur $u\wedge v$ est orthogonal à $u$ et à $v$, donc $⟨f(t),C⟩=⟨f(t),f(t)\wedge f^{\prime }(t)⟩=0$ pour tout $t$. Si $C\ne \overrightarrow{0}$, le point $M(t)$ reste donc dans le plan fixe passant par l'origine et orthogonal à $C$ : le mouvement est plan. Dans ce plan, l'aire balayée par le rayon $OM$ entre $t_0$ et $t$ vaut — on admet la formule de l'aire d'un secteur — $$\mathcal{A}(t)=\frac{1}{2}{\int }_{t_0}^t\Vert f\wedge f^{\prime }\Vert =\frac{\Vert C\Vert }{2}(t-t_0):$$ elle est proportionnelle au temps écoulé. Des aires égales sont balayées en des durées égales : c'est la deuxième loi de Kepler. Le cas $C=\overrightarrow{0}$ n'est pas exclu : il correspond à $f$ et $f^{\prime }$ colinéaires, c'est-à-dire à un mouvement rectiligne passant par l'origine.

Contrôle. Le mouvement circulaire uniforme $f(t)=(\cos t,\sin t,0)$ vérifie $f^{\prime \prime }=-f$, donc bien colinéaire à $f$. On calcule $f\wedge f^{\prime }=(\cos t,\sin t,0)\wedge (-\sin t,\cos t,0)=(0,0,{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t)=(0,0,1)$ : constant, comme annoncé. L'aire balayée depuis $t_0=0$ vaut $\frac{t}{2}$, et sur un tour complet $t=2\pi$ elle donne $\pi$, l'aire du disque unité.

Acquis. La dérivation d'un produit vectoriel obéit à la règle de Leibniz, à l'ordre des facteurs près. Et la constance de $f\wedge f^{\prime }$ n'est pas un calcul isolé : c'est la conservation du moment cinétique, qui donne d'un seul coup la planéité du mouvement et la loi des aires — deux résultats de mécanique obtenus par une dérivation de trois lignes.