Déterminant de l'exponentielle

Lemme. Pour $C\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$ de colonnes $c_1,\dots ,c_n$ : ${\sum }_{j=1}^n\det (c_1,\dots ,A{c}_j,\dots ,c_n)=\mathrm{tr}(A)\det C$. En effet, posons $M=C^{-1}AC$ : alors $A{c}_j={\sum }_i{m}_{ij}{c}_i$, et dans le $j$-ième déterminant, seule la composante sur $c_j$ survit (les autres colonnes sont déjà présentes) : il vaut $m_{jj}\det C$. La somme donne $\mathrm{tr}(M)\det C=\mathrm{tr}(A)\det C$ (la trace est un invariant de similitude, chapitre 2).

Équation différentielle. $\delta =\det (c_1(t),\dots ,c_n(t))$ où les $c_j(t)$ sont les colonnes de $\exp (tA)$, dérivables avec $c_j^{\prime }(t)=A{c}_j(t)$, par dérivation terme à terme de la série $\exp (tA)={\sum }_{k\ge 0}\frac{t^k{A}^k}{k!}$. La dérivée du déterminant ($n$-linéarité) et le lemme — applicable car $\exp (tA)$ est inversible, d'inverse $\exp (-tA)$ (chapitre 5) — donnent $${\delta }^{\prime }(t)=\sum _{j=1}^n\det (c_1,\dots ,A{c}_j,\dots ,c_n)=\mathrm{tr}(A)\delta (t).$$ Conclusion. $\delta$ est une fonction réelle vérifiant ${\delta }^{\prime }=\mathrm{tr}(A)\delta$ et $\delta (0)=\det I_n=1$ : par la théorie de première année, $\delta (t)=e^{t\mathrm{tr}A}$. En $t=1$ : $\det (\exp A)=e^{\mathrm{tr}A}$. (Au passage : $\det (\exp A)>0$ toujours — l'exponentielle ne sort jamais de la composante connexe de $I_n$ dans ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$, écho du chapitre 4.)