Donner le développement limité à l'ordre 2 en 0 de t ↦ (cos t, ln…

Première fonction. Un développement limité vectoriel se fait coordonnée par coordonnée. Avec $\cos t=1-\frac{t^2}{2}+o(t^2)$ et $\ln (1+t)=t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)$ : $$(\cos t,\ln (1+t))=(1,0)+t(0,1)+\frac{t^2}{2}(-1,-1)+o(t^2)=\left(1-\frac{t^2}{2},t-\frac{t^2}{2}\right)+o(t^2).$$

Exponentielle. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ et $\Phi (t)=\exp (tA)$. On sait que $\Phi$ est dérivable avec ${\Phi }^{\prime }(t)=A\exp (tA)$ ; en dérivant à nouveau, ${\Phi }^{\prime \prime }(t)=A^2\exp (tA)$, continue. $\Phi$ est donc de classe ${\mathcal{C}}^2$, avec $$\Phi (0)=I_n,{\Phi }^{\prime }(0)=A,{\Phi }^{\prime \prime }(0)=A^2.$$ La formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ en $0$ donne $$\exp (tA)=I_n+tA+\frac{t^2}{2}{A}^2+o(t^2),$$ c'est-à-dire le début de la série exponentielle.