L'hélice

Exercice de TD · niveau 1 (application) · mathématiques (PT), chapitre 8 — Fonctions Vectorielles, Arcs Paramétrés et Géométrie Différentielle · Niveau ★ — application directe du cours

Énoncé

Soit $f (t) = (cos t, sin t, t)$ , de $R$ dans $R^{3}$ . Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ , calculer $f^{'}$ et $f^{''}$ , et montrer que la vitesse scalaire est constante.

Corrigé

Les trois coordonnées sont $C^{\infty}$ , donc $f$ aussi, et l'on dérive coordonnée par coordonnée : $f^{'} (t) = (- sin t, cos t, 1), f^{''} (t) = (- cos t, - sin t, 0) .$ La vitesse scalaire vaut $∥ f^{'} (t) ∥_{2} = sin^{2} t + cos^{2} t + 1 = 2$ : le point monte le long de l'hélice à allure constante. (Noter : $∥ f^{'} ∥$ constante alors que $f^{'}$ ne l'est pas — c'est la direction qui tourne.)

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