La limite de f' en +∞ gouverne celle de f(t)/t

Stratégie. On retire la partie linéaire attendue et on applique l'inégalité des accroissements finis à ce qui reste. La seule vraie difficulté est logistique : l'estimation $\Vert g^{\prime }\Vert \le \epsilon$ n'est valable qu'au-delà d'un seuil $A$, donc l'IAF doit partir de $A$ et non de $0$ ; il reste alors un terme de bord $\Vert g(A)\Vert$, constant, que la division par $t$ finit par écraser.

Rappel de l'outil. Pour une fonction à valeurs dans un espace normé $E$, l'égalité des accroissements finis est fausse (penser à $t\mapsto e^{it}$ dans $\mathbb{C}$, dont la dérivée ne s'annule jamais alors que la fonction revient à son point de départ). Ce qui subsiste, et qui suffit ici, est l'inégalité : si $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$, alors $\Vert g(b)-g(a)\Vert \le (b-a){\sup }_{[a,b]}\Vert g^{\prime }\Vert$.

Mise en place. Posons $g(t)=f(t)-t\ell$, de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,+\infty [$, avec $$g^{\prime }(t)=f^{\prime }(t)-\ell ⟶0_E\text{quand }t\to +\infty .$$ Il s'agit de montrer $\frac{g(t)}{t}\to 0_E$, ce qui équivaut à la conclusion cherchée.

Étape 1 — le seuil. Soit $\epsilon >0$. Par définition de la limite de $g^{\prime }$, il existe $A\ge 0$ tel que $$\forall s\ge A,\Vert g^{\prime }(s)\Vert \le \epsilon .$$

Étape 2 — l'IAF, à partir de $A$. Soit $t\ge A$. La fonction $g$ est ${\mathcal{C}}^1$ sur le segment $[A,t]$ et ${\sup }_{[A,t]}\Vert g^{\prime }\Vert \le \epsilon$. L'inégalité des accroissements finis donne $$\Vert g(t)-g(A)\Vert \le (t-A)\epsilon \le t\epsilon ,$$ d'où, par l'inégalité triangulaire, $$\Vert g(t)\Vert \le \Vert g(A)\Vert +t\epsilon .$$

Étape 3 — la division. Pour $t>0$, en divisant par $t$ : $$\Vert \frac{f(t)}{t}-\ell \Vert =\frac{\Vert g(t)\Vert }{t}\le \frac{\Vert g(A)\Vert }{t}+\epsilon .$$ Le point $A$ est fixé (il ne dépend que de $\epsilon$), donc $\Vert g(A)\Vert$ est une constante : il existe $T\ge \max (A,1)$ tel que $\frac{\Vert g(A)\Vert }{t}\le \epsilon$ pour tout $t\ge T$ (il suffit de prendre $T\ge \Vert g(A)\Vert /\epsilon$). Alors $$\forall t\ge T,\Vert \frac{f(t)}{t}-\ell \Vert \le 2\epsilon .$$ $\epsilon >0$ étant arbitraire, on conclut : $$\boxed{\frac{f(t)}{t}\underset{t\to +\infty }{⟶}\ell .}$$

Le point délicat — l'ordre des quantificateurs. On choisit $\epsilon$, puis $A$ (fourni par la limite de $f^{\prime }$), puis $T$ (qui dépend de $A$, donc de $\epsilon$). Inverser cet ordre — fixer $T$ avant $A$ — casse la démonstration. C'est le schéma habituel des preuves « $\epsilon$ puis constante résiduelle » : le terme de bord n'est pas petit, il est fixe, et c'est la division par $t\to +\infty$ qui le tue.

La réciproque est fausse. Prenons $f(t)=t+\sin t$ sur $\mathbb{R}$ : alors $$\frac{f(t)}{t}=1+\frac{\sin t}{t}⟶1,$$ alors que $f^{\prime }(t)=1+\cos t$ oscille indéfiniment entre $0$ et $2$ et n'a aucune limite. L'énoncé est donc une implication stricte : la convergence de $f^{\prime }$ est une hypothèse de travail, pas une caractérisation.

Contrôle numérique. Prenons $E={\mathbb{R}}^2$ et $f(t)=(3t+\cos t,2t+\ln (1+t))$, de dérivée $f^{\prime }(t)=(3-\sin t,2+\frac{1}{1+t})\to (3,2)=\ell$.

$t$	$f(t)/t$	$\ell$
$10$	$(2,91609;2,23979)$	$(3;2)$
$10^2$	$(3,00862;2,04615)$	$(3;2)$
$10^4$	$(2,999905;2,000921)$	$(3;2)$
$10^6$	$(3,000001;2,000014)$	$(3;2)$

Les deux coordonnées convergent, mais pas à la même vitesse : la première en $O(1/t)$ (le $\cos$ est borné), la seconde seulement en $O(\ln t/t)$ — en $t=10^4$ elle est encore à $9\cdot 10^{-4}$ de sa limite, contre $10^{-5}$ pour la première. Le théorème ne dit rien de la vitesse, et c'est normal : la démonstration n'utilise que $\Vert g^{\prime }\Vert \le \epsilon$ au-delà d'un seuil, sans aucun contrôle quantitatif du seuil.

Acquis. C'est la version vectorielle du théorème de la limite de la dérivée « à l'infini », et le prototype des raisonnements où l'IAF remplace le théorème des accroissements finis. La même mécanique donne : si $f^{\prime }(t)\to \ell$ alors $f(t+1)-f(t)\to \ell$, ou encore le lemme de Cesàro continu.