La moyenne d'une fonction périodique tend vers sa moyenne sur une période

Ce que l'on montre. $f:\mathbb{R}\to E$ est continue et $T$-périodique ($T>0$) ; on note $m=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f$ sa moyenne sur une période. Il s'agit d'établir que la moyenne de $f$ sur $[0,x]$ converge vers $m$ quand $x\to +\infty$. En PT, $E$ est ${\mathbb{R}}^2$ ou ${\mathbb{R}}^3$ : l'intégrale se lit coordonnée par coordonnée, et l'on dispose de la majoration $\Vert {\int }_a^{b}f\Vert \le {\int }_a^b\Vert f\Vert$ pour $a\le b$.

Stratégie. Une période contribue toujours la même chose. Il ne reste donc, dans ${\int }_0^{x}f$, qu'un nombre entier de périodes — dont la contribution est exactement proportionnelle à $x$ — plus un morceau borné. C'est ce morceau qui empêche l'égalité exacte, et la division par $x$ l'écrase.

Étape 1 — une période vaut toujours autant. Pour $k\in \mathbb{N}$, le changement de variable affine $u=t-kT$ puis la $T$-périodicité donnent $${\int }_{kT}^{(k+1)T}f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{T}f(u+kT)\mathrm{d}u={\int }_0^{T}f,$$ et le même calcul, arrêté avant la fin de la période, donne ${\int }_{nT}^{nT+r}f={\int }_0^{r}f$ pour $0\le r\le T$.

Étape 2 — la division euclidienne. Soit $x>0$. Posons $n=\lfloor \frac{x}{T}\rfloor \in \mathbb{N}$ et $r=x-nT$, de sorte que $0\le r<T$. La relation de Chasles et l'étape 1 donnent $${\int }_0^{x}f=\sum _{k=0}^{n-1}{\int }_{kT}^{(k+1)T}f+{\int }_{nT}^{x}f=n{\int }_0^{T}f+{\int }_0^{r}f=nTm+\rho (x),\rho (x)={\int }_0^{r}f.$$

Étape 3 — le reste est borné une fois pour toutes. $\Vert f\Vert$ est continue sur le segment $[0,T]$, donc $$\Vert \rho (x)\Vert \le {\int }_0^r\Vert f\Vert \le {\int }_0^T\Vert f\Vert =:M<+\infty ,$$ et $M$ ne dépend pas de $x$. C'est le point qui fait tout.

Étape 4 — conclusion. Comme $nT=x-r$, il vient $\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f-m=-\frac{r}{x}m+\frac{\rho (x)}{x}$, donc $$\Vert \frac{1}{x}{\int }_0^{x}f-m\Vert \le \frac{r\Vert m\Vert +M}{x}\le \frac{T\Vert m\Vert +M}{x}\underset{x\to +\infty }{⟶}0.$$ $$\boxed{\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f\underset{x\to +\infty }{⟶}\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f}$$

Le point délicat. $n$ et $r$ dépendent tous deux de $x$, et l'on est tenté de raisonner sur « $n\to +\infty$ ». Ce n'est pas ce qui fait avancer la preuve : ce qui sert, c'est que $r$ reste dans $[0,T[$ quelle que soit la valeur de $x$. Un reste qui grandirait avec $x$, même très lentement, ruinerait la conclusion.

Ce que la preuve donne en plus. La majoration obtenue est en $\frac{C}{x}$ : la convergence est au moins en $O(1/x)$, et cette vitesse est optimale. Prenons $E={\mathbb{R}}^2$ et $f(t)=(\cos t,1+\sin t)$, de période $T=2\pi$ et de moyenne $m=(0,1)$ : $$\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f=\left(\frac{\sin x}{x},1+\frac{1-\cos x}{x}\right),\Vert \frac{1}{x}{\int }_0^{x}f-m\Vert =\frac{\sqrt{2-2\cos x}}{x}.$$ L'écart décroît en $\frac{1}{x}$ en oscillant, et ne s'annule pas à partir d'un rang : en $x=100$ il vaut au plus $0,02$, en $x=10^4$ au plus $2\cdot 10^{-4}$.

Acquis. La moyenne d'un signal périodique sur une fenêtre d'observation $[0,x]$ tend vers sa moyenne sur une période, à la vitesse $\frac{1}{x}$. C'est l'énoncé qui justifie qu'on mesure la valeur moyenne d'un signal périodique sur une durée longue sans se soucier de la synchroniser avec la période.