Montrer qu'une fonction de classe C¹ de dérivée nulle sur un…

Sur un intervalle. Soit $f:I\to E$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ avec $f^{\prime }=0$ sur l'intervalle $I$, et soient $a<b$ dans $I$. Comme $I$ est un intervalle, le segment $[a,b]$ est contenu dans $I$, et l'inégalité des accroissements finis donne $$\Vert f(b)-f(a)\Vert \le (b-a)\underset{t\in [a,b]}{\sup }\Vert f^{\prime }(t)\Vert =0.$$ Donc $f(a)=f(b)$ pour tous $a,b\in I$ : $f$ est constante.

Contre-exemple sur une réunion d'intervalles. Sur $D=]-\infty ,0[\cup ]0,+\infty [$, la fonction $f(t)=\frac{t}{|t|}$ vaut $-1$ sur $]-\infty ,0[$ et $1$ sur $]0,+\infty [$. Elle est ${\mathcal{C}}^1$ sur $D$ avec $f^{\prime }=0$, mais $f(-1)\ne f(1)$. L'argument précédent échoue parce que le segment $[-1,1]$ n'est pas contenu dans $D$ : $f$ est seulement constante sur chacun des deux intervalles.