Montrer que f(t) = (t|t|, sin t, eᵗ) est de classe C¹ sur ℝ mais pas…

Une fonction vectorielle est de classe ${\mathcal{C}}^k$ si et seulement si chacune de ses coordonnées l'est. Les coordonnées $\sin$ et $\exp$ sont ${\mathcal{C}}^{\infty }$ ; tout se joue sur $g(t)=t|t|$.

$g$ est ${\mathcal{C}}^1$. Pour $t>0$, $g(t)=t^2$ et $g^{\prime }(t)=2t$ ; pour $t<0$, $g(t)=-t^2$ et $g^{\prime }(t)=-2t$. En $0$, $\frac{g(h)-g(0)}{h}=|h|\to 0$, donc $g^{\prime }(0)=0$. Ainsi $g^{\prime }(t)=2|t|$ pour tout $t$, fonction continue : $g$ est ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$, donc $f$ aussi, avec $f^{\prime }(t)=(2|t|,\cos t,e^t)$.

$g$ n'est pas ${\mathcal{C}}^2$. Le taux d'accroissement de $g^{\prime }$ en $0$ vaut $\frac{2|h|}{h}=\pm 2$ selon le signe de $h$ : $g^{\prime }$ n'est pas dérivable en $0$. Donc $g$, et par suite $f$, n'est pas deux fois dérivable en $0$ : $f$ est ${\mathcal{C}}^1$ mais pas ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$.