Norme constante et orthogonalité

La fonction réelle $g=\Vert f{\Vert }^2=⟨f,f⟩$ est dérivable (bilinéarité du produit scalaire) et $g^{\prime }=2⟨f^{\prime },f⟩$. Alors : $\Vert f\Vert$ constante $⟺$ $g$ constante $⟺$ $g^{\prime }=0$ sur l'intervalle $I$ $⟺$ $⟨f^{\prime }(t),f(t)⟩=0$ pour tout $t$. Interprétation : un mobile reste sur une sphère centrée en l'origine exactement quand sa vitesse est en permanence orthogonale à son rayon vecteur — pour le cercle $f(t)=(\cos t,\sin t)$, on vérifie $⟨f,f^{\prime }⟩=-\cos t\sin t+\sin t\cos t=0$.