Rolle ne survit pas

$f(0)=(1,0)=f(2\pi )$, et $f^{\prime }(t)=(-\sin t,\cos t)$ vérifie $\Vert f^{\prime }(t)\Vert =1\ne 0$ pour tout $t$ : aucun point de vitesse nulle, alors que Rolle en garantirait un pour une fonction réelle. De même, il n'existe aucun $c$ avec $f(2\pi )-f(0)=2\pi f^{\prime }(c)$ (le membre de gauche est nul, pas le droit) : l'égalité des accroissements finis tombe aussi. Ces énoncés reposent sur l'ordre de $\mathbb{R}$ (extrema, signe de la dérivée), qui n'a pas d'analogue vectoriel. Ce qui survit : l'inégalité des accroissements finis, $\Vert f(2\pi )-f(0)\Vert =0\le 2\pi \sup \Vert f^{\prime }\Vert =2\pi$ — vraie, mais sans aucun point intermédiaire magique. C'est la leçon du chapitre : majorer remplace égaler.