Soit f : ℝ → E dérivable et paire. Montrer que f' est impaire (dériver…

Posons $\phi (t)=-t$ et $g=f\circ \phi$, c'est-à-dire $g(t)=f(-t)$. Par dérivation d'une composée (une fonction réelle dérivable suivie d'une fonction vectorielle dérivable), $g$ est dérivable et $$g^{\prime }(t)={\phi }^{\prime }(t)f^{\prime }(\phi (t))=-f^{\prime }(-t).$$ Comme $f$ est paire, $g=f$, donc $g^{\prime }=f^{\prime }$ : pour tout $t\in \mathbb{R}$, $f^{\prime }(-t)=-f^{\prime }(t)$. La dérivée $f^{\prime }$ est impaire ; en particulier $f^{\prime }(0)=-f^{\prime }(0)$, donc $f^{\prime }(0)=0$.