Sommes de Riemann vectorielles

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PT), chapitre 8 — Fonctions Vectorielles, Arcs Paramétrés et Géométrie Différentielle · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

Énoncé

Déterminer la limite de $S_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n (cos \frac{k π}{n}, sin \frac{k π}{n})$ .

Corrigé

$S_{n}$ est la somme de Riemann (à droite, ce qui ne change pas la limite) de $f (t) = (cos π t, sin π t)$ sur $[0, 1]$ : $S_{n} ⟶ \int_{0}^{1} (cos π t, sin π t) d t = ([\frac{sin π t}{π}]_{0}^{1}, [\frac{- cos π t}{π}]_{0}^{1}) = (0, \frac{2}{π}) .$ (Une seule limite vectorielle calcule les deux limites réelles d'un coup — et géométriquement, $(0, \frac{2}{π})$ est le « barycentre » des points du demi-cercle supérieur.)

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