Une intégrale vectorielle et l'inégalité stricte

Coordonnée par coordonnée : ${\int }_0^{\pi }\cos t\mathrm{d}t=0$ et ${\int }_0^{\pi }\sin t\mathrm{d}t=2$, donc ${\int }_0^{\pi }f=(0,2)$, de norme $2$. Par ailleurs $\Vert f(t){\Vert }_2=1$ pour tout $t$, donc ${\int }_0^{\pi }\Vert f\Vert =\pi$. On a bien $$\Vert {\int }_0^{\pi }f\Vert =2<\pi ={\int }_0^{\pi }\Vert f\Vert :$$ l'inégalité triangulaire est stricte alors que $f$ ne s'annule jamais — les directions des $f(t)$ se compensent partiellement. (Pour une fonction réelle de signe constant, il y aurait égalité : c'est un phénomène purement vectoriel.)