Une intégrale vectorielle et l'inégalité stricte

Exercice de TD · niveau 1 (application) · mathématiques (PT), chapitre 8 — Fonctions Vectorielles, Arcs Paramétrés et Géométrie Différentielle · Niveau ★ — application directe du cours

Énoncé

Calculer $\int_{0}^{π} (cos t, sin t) d t$ et comparer $\int_{0}^{π} f_{2}$ et $\int_{0}^{π} ∥ f (t) ∥_{2} d t$ .

Corrigé

Coordonnée par coordonnée : $\int_{0}^{π} cos t d t = 0$ et $\int_{0}^{π} sin t d t = 2$ , donc $\int_{0}^{π} f = (0, 2)$ , de norme $2$ . Par ailleurs $∥ f (t) ∥_{2} = 1$ pour tout $t$ , donc $\int_{0}^{π} ∥ f ∥ = π$ . On a bien $\int_{0}^{π} f = 2 < π = \int_{0}^{π} ∥ f ∥ :$ l'inégalité triangulaire est stricte alors que $f$ ne s'annule jamais — les directions des $f (t)$ se compensent partiellement. (Pour une fonction réelle de signe constant, il y aurait égalité : c'est un phénomène purement vectoriel.)

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.