Calculer la matrice jacobienne de f(x, y) = (eˣcos y, eˣ sin y) et son…

Les coordonnées $f_1(x,y)=e^x\cos y$ et $f_2(x,y)=e^x\sin y$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$, et $$J_f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial f_1}{\partial x}& \frac{\partial f_1}{\partial y}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x}& \frac{\partial f_2}{\partial y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{e}^x\cos y& -e^x\sin y\\ e^x\sin y& e^x\cos y\end{array}\right).$$ Son déterminant vaut $$\det J_f(x,y)=e^{2x}{\cos }^{2}y+e^{2x}{\sin }^{2}y=e^{2x}>0.$$ En identifiant ${\mathbb{R}}^2$ à $\mathbb{C}$, $f(x,y)$ est $e^{x+iy}$ : la jacobienne est $e^x$ fois une matrice de rotation d'angle $y$, d'où un jacobien jamais nul.