Calculer … pour …, puis … pour …, et … (diagonale

Matrice diagonale. $D^k=\mathrm{diag}(1,(-2{)}^k)$, et la série exponentielle se calcule coefficient par coefficient : $$\exp (D)=\mathrm{diag}\left(\sum _{k\ge 0}\frac{1}{k!},\sum _{k\ge 0}\frac{(-2{)}^k}{k!}\right)=\left(\begin{array}{cc}e& 0\\ 0& e^{-2}\end{array}\right).$$

Matrice nilpotente. $N^2=0$, donc la série s'arrête : $\exp (N)=I_2+N=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Somme. $\lambda I_2$ et $N$ commutent, donc $\exp (\lambda I_2+N)=\exp (\lambda I_2)\exp (N)$, avec $\exp (\lambda I_2)=e^{\lambda }{I}_2$. D'où $$\exp (\lambda I_2+N)=e^{\lambda }(I_2+N)=\left(\begin{array}{cc}{e}^{\lambda }& e^{\lambda }\\ 0& e^{\lambda }\end{array}\right).$$ L'hypothèse de commutation est indispensable : en général $\exp (A+B)\ne \exp (A)\exp (B)$.