Déterminer le plan tangent au graphe de h(x, y) = x² - y² au point (1…

$h(x,y)=x^2-y^2$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, avec $h(1,1)=0$ (le point $(1,1,0)$ est bien sur le graphe), $\frac{\partial h}{\partial x}(1,1)=2x=2$ et $\frac{\partial h}{\partial y}(1,1)=-2y=-2$.

Par le développement à l'ordre 1. Le plan tangent au graphe de $h$ en $(x_0,y_0,h(x_0,y_0))$ a pour équation $$z=h(x_0,y_0)+\frac{\partial h}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial h}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0),$$ soit ici $z=2(x-1)-2(y-1)=2x-2y$, c'est-à-dire $2x-2y-z=0$. Il est dirigé par $(1,0,2)$ et $(0,1,-2)$.

Par une équation implicite. Le graphe est la surface $g(x,y,z)=z-h(x,y)=0$, et $\nabla g(1,1,0)=(-2,2,1)\ne 0$ est normal au plan tangent : $-2(x-1)+2(y-1)+z=0$, la même équation $2x-2y-z=0$.