Déterminer les extremums de f(x, y) = x² + y² - 2x - 4y + 7 (point…

Point critique. $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur l'ouvert ${\mathbb{R}}^2$, avec $$\frac{\partial f}{\partial x}=2x-2,\frac{\partial f}{\partial y}=2y-4.$$ Le gradient s'annule seulement en $(1,2)$. Sur un ouvert, un extremum local est un point critique : $(1,2)$ est le seul candidat.

Nature. La hessienne vaut $H=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2I_2$, de valeurs propres strictement positives : $H\in {\mathcal{S}}_2^{++}(\mathbb{R})$, donc $f$ admet un minimum local en $(1,2)$.

Minimum global. La forme canonique donne directement $$f(x,y)=(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+2\ge 2=f(1,2),$$ donc ce minimum, égal à $2$, est global. Il n'y a pas de maximum ($f$ n'est pas majorée).