Deux solutions qui se touchent une fois coïncident partout, sans les calculer

Ce qu'on montre. Soient $a$ et $b$ continues sur un intervalle $I$, et $x_1$, $x_2$ deux solutions sur $I$ de $x^{\prime }=a(t)x+b(t)$. Si $x_1(t_0)=x_2(t_0)$ pour un seul $t_0\in I$, alors $x_1=x_2$ sur $I$ tout entier. On n'utilise que la linéarité de l'équation et le théorème « dérivée nulle sur un intervalle donc fonction constante ». Aucune solution n'est calculée : c'est tout l'intérêt.

1. La différence est solution de l'équation homogène. Posons $w=x_1-x_2$, dérivable sur $I$. En soustrayant les deux égalités $x_i^{\prime }(t)=a(t)x_i(t)+b(t)$, le second membre $b(t)$ disparaît : $$w^{\prime }(t)=a(t)x_1(t)-a(t)x_2(t)=a(t)w(t)(t\in I),\text{et}w(t_0)=0.$$ C'est le bénéfice de la linéarité : deux solutions d'une équation affine diffèrent d'une solution de l'homogène.

2. Une quantité conservée. La fonction $a$ est continue sur l'intervalle $I$, donc elle y admet une primitive $A$. Posons $\phi (t)=w(t)e^{-A(t)}$, dérivable sur $I$ comme produit. Alors $${\phi }^{\prime }(t)=w^{\prime }(t)e^{-A(t)}-a(t)w(t)e^{-A(t)}=(w^{\prime }(t)-a(t)w(t))e^{-A(t)}=0$$ pour tout $t\in I$, par l'étape 1.

3. Conclusion. ${\phi }^{\prime }$ est nulle sur l'intervalle $I$ : $\phi$ y est donc constante, égale à $\phi (t_0)=w(t_0)e^{-A(t_0)}=0$. Comme l'exponentielle ne s'annule jamais, $w(t)=\phi (t)e^{A(t)}=0$ pour tout $t\in I$, c'est-à-dire $x_1=x_2$ sur $I$.

Le point délicat. L'hypothèse « $I$ est un intervalle » sert deux fois — pour construire la primitive $A$, puis pour conclure de ${\phi }^{\prime }=0$ à $\phi$ constante — et elle n'est pas gratuite. Elle suppose aussi l'équation déjà résolue en $x^{\prime }$, avec des coefficients continus. Pour $t{x}^{\prime }=2x$, le facteur devant $x^{\prime }$ s'annule en $0$ : la forme $x^{\prime }=a(t)x$ n'a de sens que sur $]-\infty ,0[$ et sur $]0,+\infty [$ séparément, et de fait deux solutions définies sur $\mathbb{R}$ tout entier peuvent y coïncider en $0$ sans coïncider ailleurs. L'énoncé serait faux si l'on oubliait cette hypothèse.

Le point à retenir. L'application « solution $⟼$ sa valeur en $t_0$ » est injective sur l'ensemble des solutions : une condition initiale détermine la solution entière. C'est le contenu du théorème de Cauchy linéaire, obtenu ici sans écrire une seule solution.