L'équation des ondes

Posons $g(u,v)=f(x,t)$ avec $x=\frac{u+v}{2}$, $t=\frac{u-v}{2c}$, soit $f(x,t)=g(x+ct,x-ct)$. La règle de la chaîne (deux fois, Schwarz sécurisant les croisées car $f\in {\mathcal{C}}^2$) : $${\partial }_{t}f=c{\partial }_{u}g-c{\partial }_{v}g,{\partial }_t^{2}f=c^2({\partial }_u^{2}g-2{\partial }_{uv}^{2}g+{\partial }_v^{2}g),{\partial }_x^{2}f={\partial }_u^{2}g+2{\partial }_{uv}^{2}g+{\partial }_v^{2}g.$$ L'équation des ondes devient $-4c^2{\partial }_{uv}^{2}g=0$, soit ${\partial }_v({\partial }_{u}g)=0$ : ${\partial }_{u}g$ ne dépend que de $u$, disons ${\partial }_{u}g=\alpha (u)$ (${\mathcal{C}}^1$), puis $g(u,v)=F(u)+G(v)$ avec $F$ primitive de $\alpha$ et $G$ de classe ${\mathcal{C}}^2$. Conclusion (solution de d'Alembert) : $$f(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct),F,G\in {\mathcal{C}}^2(\mathbb{R},\mathbb{R})$$ (et réciproquement). (Deux ondes rigides se propageant en sens opposés à la vitesse $c$ : l'EDP la plus célèbre de la physique se résout par un changement de variables et deux intégrations — le calcul différentiel comme machine à redresser les équations.)