La plus grande pente

Exercice de TD · niveau 1 (application) · mathématiques (PT), chapitre 9 — Équations Différentielles et Calcul Différentiel · Gradient, règle de la chaîne et plan tangent

Énoncé

Soit $f (x, y) = x^{2} + 2 y^{2}$ et $a = (1, 1)$ . Calculer $\nabla f (a)$ , la dérivée de $f$ en $a$ selon le vecteur unitaire $u_{θ} = (cos θ, sin θ)$ , et la direction de plus grande pente.

Corrigé

$\nabla f (a) = (2 x, 4 y)_{a} = (2, 4)$ . Alors $D_{u_{θ}} f (a) = ⟨ \nabla f (a), u_{θ} ⟩ = 2 cos θ + 4 sin θ$ , maximal quand $u_{θ}$ est colinéaire à $(2, 4)$ : direction $\frac{1}{5} (1, 2)$ , pente maximale $∥\nabla f (a) ∥ = 25$ . (Sur la carte topographique des ellipses $x^{2} + 2 y^{2} = c$ , le gradient en $(1, 1)$ est perpendiculaire à l'ellipse passant par ce point et pointe vers l'extérieur — montée la plus raide.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.