Les lignes de niveau se croisent là où le gradient s'annule

Ce qu'on montre, et avec quoi. Pour $f(x,y)=x^2-y^2$, on décrit les lignes de niveau $f=c$ pour $c=-1$, $0$, $1$, on décrit le champ de gradient, et l'on justifie que les niveaux $c\ne 0$ sont des courbes régulières alors que $\{f=0\}$ ne l'est pas. Le seul outil est le gradient $\nabla f(x,y)=(2x,-2y)$.

1. Les trois niveaux, explicitement.

• $c=1$ : $x^2-y^2=1$ est une hyperbole équilatère, de sommets $(\pm 1,0)$, d'asymptotes $y=x$ et $y=-x$, formée de deux branches disjointes ($|x|\ge 1$).
• $c=-1$ : $y^2-x^2=1$, la même hyperbole tournée d'un quart de tour, de sommets $(0,\pm 1)$, dans les régions $|y|\ge 1$.
• $c=0$ : $x^2-y^2=(x-y)(x+y)=0$, c'est-à-dire la réunion des deux droites $y=x$ et $y=-x$ — qui se coupent à l'origine.

2. Le champ de gradient. $\nabla f(x,y)=(2x,-2y)$ s'annule si et seulement si $x=y=0$ : l'origine est le seul point critique, et $f(0,0)=0$. Ce champ est en tout point orthogonal au niveau qui y passe et pointe vers les valeurs croissantes de $f$ : horizontal et sortant sur l'axe des abscisses, vertical et rentrant sur l'axe des ordonnées.

3. Ce que le gradient non nul donne. En un point $a$ où $\nabla f(a)\ne 0$, la ligne de niveau de $f$ passant par $a$ est, au voisinage de $a$, une courbe régulière, de tangente en $a$ la droite passant par $a$ et orthogonale à $\nabla f(a)$. Or aucun point de niveau $c\ne 0$ n'est l'origine : tous ont un gradient non nul. Pour $c=1$ et $a=(x_0,y_0)$ avec $x_0^2-y_0^2=1$, la tangente s'écrit $$2x_0(x-x_0)-2y_0(y-y_0)=0,\text{soit}{x}_{0}x-y_{0}y=1.$$ Au sommet $(1,0)$ elle vaut $x=1$, verticale — et $\nabla f(1,0)=(2,0)$ lui est bien orthogonal.

4. Pourquoi $\{f=0\}$ n'est pas régulier en l'origine. L'hypothèse y tombe, et la conclusion avec elle. Argument sans calcul : dans un disque ouvert $D$ centré en l'origine, l'ensemble $(\{f=0\}\cap D)\setminus \{(0,0)\}$ a quatre morceaux connexes, les quatre demi-droites tronquées. Or une courbe régulière est localement le graphe d'une fonction d'une variable, et ôter un point à un intervalle laisse deux morceaux. Quatre ne peut valoir deux : aucun voisinage de l'origine ne redresse $\{f=0\}$ en un graphe. Il n'y a d'ailleurs aucune tangente en ce point, puisque deux directions distinctes s'y présentent.

Le point à retenir. L'hypothèse « le gradient ne s'annule pas » n'est pas décorative : c'est elle qui interdit à un niveau de se croiser, de rebrousser ou de se réduire à un point. Là où le gradient s'annule, le théorème ne dit plus rien — et ici il aurait tort de le dire.