Plan tangent à une surface

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PT), chapitre 9 — Équations Différentielles et Calcul Différentiel · Gradient, règle de la chaîne et plan tangent

Énoncé

Déterminer le plan tangent à la sphère $S$ d'équation $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14$ au point $a = (1, 2, 3)$ .

Corrigé

$S = {g = 0}$ avec $g (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14$ , de classe $C^{1}$ , et $\nabla g (a) = (2 x, 2 y, 2 z)_{a} = (2, 4, 6) \neq = 0$ : le point est régulier. L'espace tangent est $\nabla g (a)^{⊥}$ , et le plan tangent est le plan affine passant par $a$ de normale $(2, 4, 6)$ , soit $(1, 2, 3)$ : $1 (x - 1) + 2 (y - 2) + 3 (z - 3) = 0, soit x + 2 y + 3 z = 14.$ (Contrôle : pour une sphère centrée en l'origine, la normale au point $a$ est le rayon $a$ lui-même — $T_{a} S = a^{⊥}$ , l'exemple du cours. L'équation du plan tangent à une quadrique $\sum α_{i} x_{i}^{2} = c$ s'obtient toujours par « dédoublement » : $\sum α_{i} x_{i} a_{i} = c$ .)

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.