Raccordement — quand Cauchy ne s'applique plus

Sur $]0,+\infty [$ et sur $]-\infty ,0[$, l'équation normalisée $x^{\prime }=\frac{2}{t}x$ donne $x(t)=c_{\pm }{t}^2$ (constantes indépendantes sur chaque intervalle). Raccordement en $0$ : la fonction $$x(t)=\{\begin{array}{ll}{c}_{+}{t}^2& t\ge 0\\ c_{-}{t}^2& t<0\end{array}$$ est dérivable en $0$ (les deux paraboles y sont plates : $x^{\prime }(0)=0$) et vérifie $0\cdot x^{\prime }(0)=2\cdot 0$ : c'est une solution sur $\mathbb{R}$ pour tout couple $(c_{+},c_{-})$. L'espace des solutions sur $\mathbb{R}$ est de dimension 2 — alors que la théorie de Cauchy en prédirait $1$ pour une équation d'ordre $1$. La contradiction n'est qu'apparente : au point $t=0$, le coefficient dominant s'annule et l'équation n'est plus normalisable — le théorème ne s'applique pas, et l'unicité du problème de Cauchy en $t_0=0$ tombe ($x(0)=0$ est imposé, mais une infinité de solutions passent par ce point). (Moralité : toujours repérer les zéros du coefficient de $x^{\prime }$ — la dimension peut sauter au raccordement.)