Réciproque d'Euler : l'EDP caractérise l'homogénéité

Stratégie : fabriquer la fonction qui devrait être constante. Il s'agit cette fois de remonter d'une équation aux dérivées partielles à une identité fonctionnelle. Le procédé standard : si $f$ était homogène de degré $\alpha$, alors $t^{-\alpha }f(tx,ty)$ ne dépendrait pas de $t$. On pose donc cette fonction, on montre que sa dérivée est nulle sur un intervalle, et on l'évalue en $t=1$.

1. La fonction auxiliaire. Fixons $(x,y)\in ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast }{)}^2$. Pour $t>0$, le point $(tx,ty)$ est encore dans $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast }{)}^2$ : on peut poser

$$g:]0,+\infty [⟶\mathbb{R},g(t)=t^{-\alpha }f(tx,ty).$$

$f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et $t\mapsto (tx,ty)$ l'est aussi, donc $t\mapsto f(tx,ty)$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ par composition ; multipliée par $t\mapsto t^{-\alpha }$, de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,+\infty [$, la fonction $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$.

2. Dérivée. La règle de la chaîne pour une fonction de deux variables composée avec $t\mapsto (tx,ty)$ donne

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(tx,ty)=x{\partial }_{x}f(tx,ty)+y{\partial }_{y}f(tx,ty),$$

d'où, par dérivation d'un produit,

$$g^{\prime }(t)=-\alpha t^{-\alpha -1}f(tx,ty)+t^{-\alpha }\left[x{\partial }_{x}f(tx,ty)+y{\partial }_{y}f(tx,ty)\right].$$

3. Où l'hypothèse entre — et c'est le point délicat. L'équation $u{\partial }_{x}f+v{\partial }_{y}f=\alpha f$ est vérifiée en tout point $(u,v)$ de $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast }{)}^2$, donc en particulier au point courant $(tx,ty)$ :

$$(tx){\partial }_{x}f(tx,ty)+(ty){\partial }_{y}f(tx,ty)=\alpha f(tx,ty).$$

En divisant par $t>0$ :

$$x{\partial }_{x}f(tx,ty)+y{\partial }_{y}f(tx,ty)=\frac{\alpha }{t}f(tx,ty).$$

C'est l'évaluation au point courant, et non au point de départ $(x,y)$, qui fait apparaître le facteur $\frac{1}{t}$ exactement compensateur. En reportant :

$$g^{\prime }(t)=-\alpha t^{-\alpha -1}f(tx,ty)+t^{-\alpha }\cdot \frac{\alpha }{t}f(tx,ty)=0\text{pour tout }t>0.$$

4. Conclusion. $g^{\prime }$ est nulle sur $]0,+\infty [$, qui est un intervalle : $g$ y est donc constante (une fonction dérivable de dérivée nulle sur un intervalle est constante — l'hypothèse « intervalle » est essentielle, la conclusion tomberait sur une réunion de deux intervalles disjoints). Donc, pour tout $t>0$,

$$g(t)=g(1)=f(x,y),\text{c’est-aˋ-dire}f(tx,ty)=t^{\alpha }f(x,y).$$

Le point $(x,y)$ étant arbitraire dans $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast }{)}^2$ : $f$ est homogène de degré $\alpha$.

Contrôle chiffré. Prenons $f(x,y)=x^2\ln \left(\frac{y}{x}\right)$ sur $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast }{)}^2$, de classe ${\mathcal{C}}^1$. Alors

$${\partial }_{x}f=2x\ln \left(\frac{y}{x}\right)-x,{\partial }_{y}f=\frac{x^2}{y},$$

donc $x{\partial }_{x}f+y{\partial }_{y}f=2x^2\ln \left(\frac{y}{x}\right)-x^2+x^2=2f$ : l'hypothèse est vérifiée avec $\alpha =2$. Vérification numérique en $(x,y)=(2,5)$ : $f=4\ln 2,5=3,66516$ et $x{\partial }_{x}f+y{\partial }_{y}f=7,33033=2f$ ✓. Le théorème prédit alors $f(3x,3y)=9f(x,y)$ : on calcule $f(6,15)=36\ln 2,5=32,98647$ et $9\times 3,66516=32,98647$ ✓ — l'homogénéité de degré $2$ est bien au rendez-vous, alors qu'elle n'était pas lisible à l'œil sur l'expression de $f$.

Ce qui est acquis. Joint au sens direct — l'identité d'Euler, qui affirme que toute fonction homogène de degré $\alpha$ vérifie cette équation aux dérivées partielles —, ce résultat donne l'équivalence complète : pour $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast }{)}^2$,

$$f\text{ homogeˋne de degreˊ }\alpha ⟺x{\partial }_{x}f+y{\partial }_{y}f=\alpha f.$$

Et le procédé général : pour prouver une identité fonctionnelle, dériver la quantité normalisée dont on veut montrer qu'elle est constante.