Réciproque d'Euler : l'EDP caractérise l'homogénéité

Stratégie : fabriquer la fonction qui devrait être constante. Il s'agit cette fois de remonter d'une équation aux dérivées partielles à une identité fonctionnelle. Le procédé standard : si $f$ était homogène de degré $α$ , alors $t^{- α} f (t x, t y)$ ne dépendrait pas de $t$ . On pose donc cette fonction, on montre que sa dérivée est nulle sur un intervalle, et on l'évalue en $t = 1$ .

1. La fonction auxiliaire. Fixons $(x, y) \in (R_{+}^{*})^{2}$ . Pour $t > 0$ , le point $(t x, t y)$ est encore dans $(R_{+}^{*})^{2}$ : on peut poser

$g :] 0, + \infty [⟶ R, g (t) = t^{- α} f (t x, t y) .$

$f$ est de classe $C^{1}$ et $t \mapsto (t x, t y)$ l'est aussi, donc $t \mapsto f (t x, t y)$ est de classe $C^{1}$ par composition ; multipliée par $t \mapsto t^{- α}$ , de classe $C^{1}$ sur $] 0, + \infty [$ , la fonction $g$ est de classe $C^{1}$ .

2. Dérivée. La règle de la chaîne pour une fonction de deux variables composée avec $t \mapsto (t x, t y)$ donne

$\frac{d}{d t} f (t x, t y) = x \partial_{x} f (t x, t y) + y \partial_{y} f (t x, t y),$

d'où, par dérivation d'un produit,

$g^{'} (t) = - α t^{- α - 1} f (t x, t y) + t^{- α} [x \partial_{x} f (t x, t y) + y \partial_{y} f (t x, t y)] .$

3. Où l'hypothèse entre — et c'est le point délicat. L'équation $u \partial_{x} f + v \partial_{y} f = α f$ est vérifiée en tout point $(u, v)$ de $(R_{+}^{*})^{2}$ , donc en particulier au point courant $(t x, t y)$ :

$(t x) \partial_{x} f (t x, t y) + (t y) \partial_{y} f (t x, t y) = α f (t x, t y) .$

En divisant par $t > 0$ :

$x \partial_{x} f (t x, t y) + y \partial_{y} f (t x, t y) = \frac{α}{t} f (t x, t y) .$

C'est l'évaluation au point courant, et non au point de départ $(x, y)$ , qui fait apparaître le facteur $\frac{1}{t}$ exactement compensateur. En reportant :

$g^{'} (t) = - α t^{- α - 1} f (t x, t y) + t^{- α} \cdot \frac{α}{t} f (t x, t y) = 0 pour tout t > 0.$

4. Conclusion. $g^{'}$ est nulle sur $] 0, + \infty [$ , qui est un intervalle : $g$ y est donc constante (une fonction dérivable de dérivée nulle sur un intervalle est constante — l'hypothèse « intervalle » est essentielle, la conclusion tomberait sur une réunion de deux intervalles disjoints). Donc, pour tout $t > 0$ ,

$g (t) = g (1) = f (x, y), c’est- a ˋ -dire f (t x, t y) = t^{α} f (x, y) .$

Le point $(x, y)$ étant arbitraire dans $(R_{+}^{*})^{2}$ : $f$ est homogène de degré $α$ .

Contrôle chiffré. Prenons $f (x, y) = x^{2} ln (\frac{y}{x})$ sur $(R_{+}^{*})^{2}$ , de classe $C^{1}$ . Alors

$\partial_{x} f = 2 x ln (\frac{y}{x}) - x, \partial_{y} f = \frac{x ^{2}}{y},$

donc $x \partial_{x} f + y \partial_{y} f = 2 x^{2} ln (\frac{y}{x}) - x^{2} + x^{2} = 2 f$ : l'hypothèse est vérifiée avec $α = 2$ . Vérification numérique en $(x, y) = (2, 5)$ : $f = 4 ln 2, 5 = 3, 66516$ et $x \partial_{x} f + y \partial_{y} f = 7, 33033 = 2 f$ ✓. Le théorème prédit alors $f (3 x, 3 y) = 9 f (x, y)$ : on calcule $f (6, 15) = 36 ln 2, 5 = 32, 98647$ et $9 \times 3, 66516 = 32, 98647$ ✓ — l'homogénéité de degré $2$ est bien au rendez-vous, alors qu'elle n'était pas lisible à l'œil sur l'expression de $f$ .

Ce qui est acquis. Joint au sens direct — l'identité d'Euler, qui affirme que toute fonction homogène de degré $α$ vérifie cette équation aux dérivées partielles —, ce résultat donne l'équivalence complète : pour $f$ de classe $C^{1}$ sur $(R_{+}^{*})^{2}$ ,

$f homog e ˋ ne de degr e ˊ α ⟺ x \partial_{x} f + y \partial_{y} f = α f .$

Et le procédé général : pour prouver une identité fonctionnelle, dériver la quantité normalisée dont on veut montrer qu'elle est constante.

Énoncé

Corrigé

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