Résolution par série entière

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PT), chapitre 9 — Équations Différentielles et Calcul Différentiel · Équations scalaires d'ordre 2 : séries entières et raccordement

Énoncé

Déterminer les solutions développables en série entière de $y^{''} + t y^{'} + y = 0$ , et identifier celle vérifiant $y (0) = 1$ , $y^{'} (0) = 0$ .

Corrigé

Soit $y = \sum a_{n} t^{n}$ de rayon $R > 0$ . La dérivation terme à terme (chapitre 6) et l'unicité des coefficients donnent, pour tout $n \geq 0$ : $(n + 2) (n + 1) a_{n + 2} + n a_{n} + a_{n} = 0, soit a_{n + 2} = - \frac{a _{n}}{n + 2} .$ Avec $a_{0} = 1$ , $a_{1} = 0$ : les coefficients impairs sont nuls et $a_{2 k} = \frac{( - 1 ) ^{k}}{2 \cdot 4 \dots ( 2 k )} = \frac{( - 1/2 ) ^{k}}{k !}$ , d'où $y (t) = k = 0 \sum + \infty \frac{( - t ^{2} /2 ) ^{k}}{k !} = e^{- t^{2} /2},$ de rayon infini — c'est donc une vraie solution sur $R$ (et l'on vérifie : $y^{'} = - t y$ , $y^{''} = (t^{2} - 1) y$ , somme nulle). (La gaussienne surgit d'une équation différentielle à coefficients polynomiaux : récurrence à deux crans, rayon infini, identification d'une fonction connue — le déroulé type de la méthode.)

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.