Résoudre … (triangulaire : résoudre y' = 2y, reporter dans x' = x + y…

Avec $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$, le système s'écrit $x^{\prime }=x+y$ et $y^{\prime }=2y$.

Résolution en cascade. La seconde équation donne $y(t)=c_2{e}^{2t}$. On reporte : $x^{\prime }-x=c_2{e}^{2t}$. Les solutions de l'équation homogène sont $c_1{e}^t$, et $\alpha e^{2t}$ est solution particulière si $2\alpha -\alpha =c_2$, soit $\alpha =c_2$. Donc $x(t)=c_1{e}^t+c_2{e}^{2t}$.

Solution générale. Pour $(c_1,c_2)\in {\mathbb{R}}^2$ : $$X(t)=c_1{e}^t\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+c_2{e}^{2t}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right).$$

Contrôle par la diagonalisation. La matrice est triangulaire de valeurs propres $1$ et $2$, avec $E_1=\mathrm{Vect}(1,0)$ et $E_2=\mathrm{Vect}(1,1)$ : chaque solution est une combinaison de $e^{\lambda t}V$, $V$ vecteur propre associé à $\lambda$. On retrouve exactement la même famille, espace vectoriel de dimension $2$.