Soit f(x, y) = xy et γ(t) = (cos t, sin t). Calculer (f ∘ γ)'(t) de…

Directement. $(f\circ \gamma )(t)=\cos t\sin t=\frac{1}{2}\sin 2t$, donc $(f\circ \gamma {)}^{\prime }(t)=\cos 2t$.

Par la règle de la chaîne. $\nabla f(x,y)=(y,x)$, donc $\nabla f(\gamma (t))=(\sin t,\cos t)$, et ${\gamma }^{\prime }(t)=(-\sin t,\cos t)$. Ainsi $$(f\circ \gamma {)}^{\prime }(t)=\mathrm{d}{f}_{\gamma (t)}({\gamma }^{\prime }(t))=⟨\nabla f(\gamma (t)),{\gamma }^{\prime }(t)⟩=-{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=\cos 2t.$$ Les deux calculs concordent.