Un minimum sur toute droite qui n'est pas un minimum

Stratégie : opposer deux définitions qu'on confond volontiers. « Minimum local » se lit sur une boule, pas sur une réunion de droites. On vérifie d'abord que le critère du cours est muet (la hessienne est dégénérée), puis on établit le minimum le long de chaque droite par un calcul élémentaire, et enfin on exhibe une parabole le long de laquelle $f$ devient strictement négative — ce qui ruine toute boule, si petite soit-elle.

Développons d'abord :

$$f(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2)=y^2-3x^{2}y+2x^4,$$

polynomiale, donc de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur ${\mathbb{R}}^2$, avec $f(0,0)=0$.

1. $(0,0)$ est un point critique, et le critère du cours ne tranche pas.

$$\frac{\partial f}{\partial x}=-6xy+8x^3,\frac{\partial f}{\partial y}=2y-3x^2⟹\nabla f(0,0)=(0,0).$$

Puis ${\partial }_{xx}^{2}f=-6y+24x^2$, ${\partial }_{xy}^{2}f=-6x$, ${\partial }_{yy}^{2}f=2$, d'où

$$H_f(0,0)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 2\end{array}\right),\det H_f(0,0)=0,\mathrm{tr}{H}_f(0,0)=2.$$

Cette matrice est positive mais non définie : elle appartient à ${\mathcal{S}}_2^{+}$ sans appartenir à ${\mathcal{S}}_2^{++}$. Les deux critères du cours sont donc l'un et l'autre inapplicables — ni « $H_f(0,0)\in {\mathcal{S}}_2^{++}$ », ni « $H_f(0,0)\notin {\mathcal{S}}_2^{+}$ ». C'est exactement le cas dégénéré, celui où il faut regarder la fonction elle-même.

2. Sur toute droite passant par l'origine : minimum local strict.

• Droite $y=mx$ avec $m\ne 0$. Posons ${\phi }_m(x)=f(x,mx)=(mx-x^2)(mx-2x^2)=x^2(m-x)(m-2x)$. La fonction $x\mapsto (m-x)(m-2x)$ est continue et vaut $m^2>0$ en $x=0$ : il existe $\delta >0$ tel que $(m-x)(m-2x)\ge \frac{m^2}{2}$ pour $|x|<\delta$. Alors

$${\phi }_m(x)\ge \frac{m^2}{2}{x}^2>0={\phi }_m(0)\text{pour }0<|x|<\delta :$$

minimum local strict en $0$.

• Droite $y=0$ (l'axe des abscisses) : $f(x,0)=(-x^2)(-2x^2)=2x^4>0$ pour $x\ne 0$.
• Droite $x=0$ (l'axe des ordonnées) : $f(0,y)=y\cdot y=y^2>0$ pour $y\ne 0$.

Ainsi, pour tout vecteur directeur $u\ne 0$, la fonction $t\mapsto f(tu)$ admet en $t=0$ un minimum local strict. Toutes les droites disent « minimum ».

3. Et pourtant, aucun minimum local en $(0,0)$. Suivons la parabole $y=\frac{3}{2}{x}^2$, qui passe entre les deux paraboles $y=x^2$ et $y=2x^2$ :

$$f\left(x,\frac{3}{2}{x}^2\right)=\left(\frac{3}{2}{x}^2-x^2\right)\left(\frac{3}{2}{x}^2-2x^2\right)=\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)\left(-\frac{1}{2}{x}^2\right)=-\frac{x^4}{4}<0(x\ne 0).$$

Or les points $P_x=\left(x,\frac{3}{2}{x}^2\right)$ vérifient $\Vert P_x\Vert =|x|\sqrt{1+\frac{9}{4}{x}^2}\to 0$ quand $x\to 0$ : toute boule ouverte centrée en $(0,0)$ contient des $P_x$ avec $x\ne 0$, donc des points où $f<0=f(0,0)$. Il n'y a donc aucun minimum local en $(0,0)$ — ni maximum d'ailleurs, puisque $f(0,y)=y^2>0$.

4. Pourquoi les droites ne voient rien. La région $\{(x,y):x^2<y<2x^2\}$, où $f<0$, est tangente à l'origine à toutes les droites : elle est plus « plate » que n'importe laquelle d'entre elles. Le calcul le montre : sur la droite $y=mx$ avec $m>0$ et pour $x>0$, la condition $x^2<mx<2x^2$ équivaut à

$$\frac{m}{2}<x<m,$$

de sorte que la droite ne rencontre la région qu'à une distance de l'origine au moins $m/2$ — jamais au voisinage de $0$. Chaque droite passe à côté, et c'est pour cela qu'aucune ne détecte la descente.

Contrôle chiffré. En $x=0,1$ :

• sur la parabole : $f\left(0,1;0,015\right)=-\frac{(0,1{)}^4}{4}=-2,5\times 10^{-5}<0$, en un point situé à $\sqrt{0,01+0,000225}=0,1011$ de l'origine ;
• sur la droite $y=x$ (donc $m=1$) : $f(0,1;0,1)=0,01\times 0,9\times 0,8=7,2\times 10^{-3}>0$ ;
• sur l'axe des abscisses : $f(0,1;0)=2\times 10^{-4}>0$.

Et le minimum de $f$ sur le cercle de centre l'origine et de rayon $r$ (balayage sur $200001$ angles) :

$r$	minimum de $f$ sur ce cercle	$r^4/4$
$0,5$	$-8,13\times 10^{-3}$	$1,56\times 10^{-2}$
$0,1$	$-2,39\times 10^{-5}$	$2,50\times 10^{-5}$
$0,01$	$-2,4989\times 10^{-9}$	$2,5000\times 10^{-9}$

Le minimum est strictement négatif à tout rayon testé : la fonction descend sous $0$ dans toute boule. Et il se rapproche de $-r^4/4$, la valeur atteinte sur la parabole, à mesure que $r$ diminue (accord à $4\%$ pour $r=0,1$, à $5\times 10^{-4}$ près pour $r=0,01$) — l'écart à $r=0,5$ montre seulement que ce régime est asymptotique.

Ce qui est acquis. La définition d'un minimum local est en boule ; la réduction aux droites (ou aux « directions ») fournit une condition nécessaire trop faible pour conclure ; et quand $H_f(a)$ est positive sans être définie, aucun critère ne dispense d'un examen direct.