Une résonance et un second membre affine, traités par superposition

Ce qu'on montre, et avec quoi. On résout $x^{\prime \prime }+x=\cos t+t$ sur $\mathbb{R}$. Deux outils : la solution générale de l'équation homogène à coefficients constants, et le principe de superposition — l'application $x⟼x^{\prime \prime }+x$ étant linéaire, si $x_1$ répond au second membre $b_1$ et $x_2$ au second membre $b_2$, alors $x_1+x_2$ répond à $b_1+b_2$. La stratégie est donc de couper le second membre en deux.

1. L'équation homogène. L'équation caractéristique $r^2+1=0$ a pour racines $i$ et $-i$, non réelles. Les solutions réelles de $x^{\prime \prime }+x=0$ sont donc $$x_h(t)=\lambda \cos t+\mu \sin t,(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}^2.$$

2. Le second membre $t$. Il est polynomial de degré $1$, et $0$ n'est pas racine de l'équation caractéristique : on cherche une solution polynomiale de degré $1$. Pour $x_1(t)=t$ on a $x_1^{\prime \prime }+x_1=0+t=t$ : $x_1(t)=t$ convient.

3. Le second membre $\cos t$ : c'est une résonance. Chercher $x=a\cos t+b\sin t$ est voué à l'échec, puisqu'une telle fonction est solution de l'homogène : elle donne $x^{\prime \prime }+x=0\ne \cos t$. C'est la définition même de la résonance : le second membre est lui-même solution de l'équation homogène. On monte alors d'un cran en $t$ et l'on pose $x_2(t)=t(a\cos t+b\sin t)$. En dérivant deux fois, $$x_2^{\prime \prime }(t)=-2a\sin t+2b\cos t-t(a\cos t+b\sin t),\text{donc}{x}_2^{\prime \prime }+x_2=-2a\sin t+2b\cos t,$$ les termes portant le facteur $t$ se compensant exactement — c'est là la trace de la résonance. L'identification avec $\cos t$ impose $-2a=0$ et $2b=1$, d'où $$x_2(t)=\frac{t}{2}\sin t.$$

4. Superposition et conclusion. L'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ de $x^{\prime \prime }+x=\cos t+t$ est $$x(t)=\lambda \cos t+\mu \sin t+t+\frac{t}{2}\sin t,(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}^2.$$ Vérification directe, pour ne rien devoir à l'identification : $(\frac{t}{2}\sin t{)}^{\prime }=\frac{1}{2}\sin t+\frac{t}{2}\cos t$, puis $(\frac{t}{2}\sin t{)}^{\prime \prime }=\cos t-\frac{t}{2}\sin t$, de sorte que $(\frac{t}{2}\sin t{)}^{\prime \prime }+\frac{t}{2}\sin t=\cos t$, et $(t{)}^{\prime \prime }+t=t$. La somme redonne bien $\cos t+t$.

Le point à retenir. Devant un second membre composite, on découpe et l'on superpose. Et l'on teste la résonance avant de chercher : le second membre est-il solution de l'homogène ? Si oui, la fonction d'essai est multipliée par $t$. Le terme $\frac{t}{2}\sin t$ qui en résulte a une amplitude qui croît indéfiniment : la solution n'est pas bornée, ce qui est la signature physique de la résonance.