Factorisation réelle de $X^4+X^2+1$

Astuce de complétion : $X^4+X^2+1=\left(X^4+2X^2+1\right)-X^2={\left(X^2+1\right)}^2-X^2$, identité remarquable :

$$P=\left(X^2+X+1\right)\left(X^2-X+1\right).$$

Les deux trinômes ont pour discriminant $1-4=-3<0$ : ils sont irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$, et la factorisation est terminée. (Sur $\mathbb{C}$, on continuerait : les racines sont $\pm j$ et $\pm j^2$, les racines primitives sixièmes et cubiques de l'unité.)