Le reste se lit aux racines du diviseur, et calcule les puissances d'une matrice

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PTSI), chapitre 10 — Polynômes · B. Division euclidienne et racines

Énoncé

Soit $P \in K [X]$ .

a) Soient $a \neq = b$ dans $K$ . Déterminer le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X - a) (X - b)$ en fonction de $P (a)$ et de $P (b)$ . Application : reste de $X^{m}$ ( $m \geq 1$ ) par $(X - 1) (X - 2)$ .

b) Montrer que le reste de la division de $P$ par $(X - a)^{2}$ est $P (a) + P^{'} (a) (X - a)$ , de deux façons : en dérivant $P = (X - a)^{2} Q + R$ , puis par la formule de Taylor. Application : reste de $X^{m}$ par $(X - 1)^{2}$ .

c) Pour $A \in M_{p} (K)$ et $P = \sum_{k} c_{k} X^{k}$ , on pose $P (A) = \sum_{k} c_{k} A^{k}$ (avec $A^{0} = I_{p}$ ). Montrer que $(P + Q) (A) = P (A) + Q (A)$ et que $(P Q) (A) = P (A) Q (A)$ .

d) En déduire que si $A^{2} - 3 A + 2 I_{p} = 0$ , alors $A^{m} = (2^{m} - 1) A + (2 - 2^{m}) I_{p}$ pour tout $m \in N$ ; et que si $(A - I_{p})^{2} = 0$ , alors $A^{m} = m A - (m - 1) I_{p}$ . Vérifier sur $A = (1011)$ .

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème de la division euclidienne, et surtout l'unicité du couple (quotient, reste) ; la dérivée d'un produit ; la formule de Taylor polynomiale ; le calcul dans $M_{p} (K)$ . La stratégie : le reste a peu de coefficients, et on les obtient en évaluant aux racines du diviseur — sans jamais poser la division.

a) Deux racines simples : la corde. Écrivons $P = (X - a) (X - b) Q + R$ avec $de g R \leq 1$ . En évaluant en $a$ et en $b$ , où le diviseur s'annule : $R (a) = P (a)$ et $R (b) = P (b)$ . Posons $S = P (a) + \frac{P ( b ) - P ( a )}{b - a} (X - a)$ , qui prend les mêmes valeurs en $a$ et en $b$ : $R - S$ est de degré au plus $1$ et a deux racines distinctes, il est donc nul. Le reste est $R = P (a) + \frac{P ( b ) - P ( a )}{b - a} (X - a)$ : la corde du graphe de $P$ entre $a$ et $b$ . Application : avec $P (1) = 1$ et $P (2) = 2^{m}$ , $R = 1 + (2^{m} - 1) (X - 1) = (2^{m} - 1) X + 2 - 2^{m}$ ; pour $m = 2$ , $X^{2} = (X - 1) (X - 2) + 3 X - 2$ , et la formule donne bien $3 X - 2$ .

b) Une racine double : la tangente. Première méthode. Écrivons $P = (X - a)^{2} Q + R$ avec $R = β + α (X - a)$ . En $a$ : $P (a) = β$ . En dérivant, $P^{'} = 2 (X - a) Q + (X - a)^{2} Q^{'} + α$ , et en $a$ : $P^{'} (a) = α$ . Donc $R = P (a) + P^{'} (a) (X - a)$ . Seconde méthode. Si $de g P \leq 1$ , $P$ est son propre reste et la formule est vraie. Sinon, avec $n = de g P$ , la formule de Taylor en $a$ s'écrit $P = P (a) + P^{'} (a) (X - a) + (X - a)^{2} k = 2 \sum n \frac{P ^{(k)} ( a )}{k !} (X - a)^{k - 2} :$ un multiple de $(X - a)^{2}$ plus un polynôme de degré au plus $1$ . Par unicité de la division euclidienne, c'est la division, et $P (a) + P^{'} (a) (X - a)$ est le reste. Application : $P (1) = 1$ et $P^{'} (1) = m$ , donc le reste de $X^{m}$ par $(X - 1)^{2}$ est $m X - (m - 1)$ — la tangente en $1$ au graphe de $x \mapsto x^{m}$ , limite de la corde du a) quand $b$ tend vers $a$ .

c) Évaluer un polynôme en une matrice. La somme se fait coefficient par coefficient. Pour le produit, avec $P = \sum_{i} c_{i} X^{i}$ et $Q = \sum_{j} d_{j} X^{j}$ , on a $P Q = \sum_{i, j} c_{i} d_{j} X^{i + j}$ , donc, par la règle $A^{i + j} = A^{i} A^{j}$ et la bilinéarité du produit matriciel, $(P Q) (A) = i, j \sum c_{i} d_{j} A^{i} A^{j} = (i \sum c_{i} A^{i}) (j \sum d_{j} A^{j}) = P (A) Q (A) .$ Comme $P Q = QP$ , on en tire au passage que $P (A)$ et $Q (A)$ commutent : toutes les matrices en jeu sont des polynômes en la même matrice $A$ .

d) Les puissances d'une matrice sont des restes. Divisons $X^{m}$ par $X^{2} - 3 X + 2 = (X - 1) (X - 2)$ : $X^{m} = (X^{2} - 3 X + 2) Q_{m} + R_{m}$ , avec $R_{m} = (2^{m} - 1) X + 2 - 2^{m}$ par le a). En évaluant en $A$ grâce au c), $A^{m} = (A^{2} - 3 A + 2 I_{p}) Q_{m} (A) + R_{m} (A) = R_{m} (A) = (2^{m} - 1) A + (2 - 2^{m}) I_{p} .$ Au chapitre 7, une telle formule s'obtenait par récurrence ; ici, sans récurrence : calculer les puissances d'une matrice, c'est faire une division euclidienne, dont on n'a même pas besoin du quotient. De même, si $(A - I_{p})^{2} = 0$ , le b) donne $A^{m} = m A - (m - 1) I_{p}$ . Vérification : $A = (1011)$ vérifie $(A - I_{2})^{2} = E_{1, 2}^{2} = 0$ , et la formule donne $A^{m} = (10 m 1)$ , ce que confirme une récurrence immédiate : $(10 m 1) (1011) = (10 m + 1 1)$ .

Le point délicat. L'unicité de la division euclidienne : dès qu'on a écrit $P$ comme un multiple du diviseur plus un polynôme de degré strictement plus petit, ce polynôme est le reste, quelle que soit la façon dont on l'a trouvé. C'est ce qui dispense de poser la division, et au d), le quotient $Q_{m}$ n'est jamais calculé : il est multiplié par une matrice nulle.

Ce que l'exercice installe. Le reste modulo un polynôme dont on connaît les racines se lit sur ces racines : une corde pour deux racines simples, une tangente — le début de Taylor — pour une racine double. Évaluer un polynôme en une matrice transporte la division euclidienne dans $M_{p} (K)$ : c'est la méthode des polynômes annulateurs, centrale en deuxième année.

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